小学生智力题及答案一：乒乓球问题
假设排列着100个乒乓球，由两个人轮流拿球装入口袋，能拿到第100个乒乓球的人为胜利者。条件是：每次拿球者至少要拿1个，但最多不能超过5个，问：如果你是最先拿球的人，你该拿几个?以后怎么拿就能保证你能得到第100个乒乓球?
解题思路：
1、我们不妨逆向推理，如果只剩6个乒乓球，让对方先拿球，你一定能拿到第6个乒乓球。理由是：如果他拿1个，你拿5个;如果他拿2个，你拿4个;如果他拿3个，你拿3个;如果他拿4个，你拿2个;如果他拿5个，你拿1个。
2、我们再把100个乒乓球从后向前按组分开，6个乒乓球一组。100不能被6整除，这样就分成17组;第1组4个，后16组每组6个。
3、这样先把第1组4个拿完，后16组每组都让对方先拿球，自己拿完剩下的。这样你就能拿到第16组的最后一个，即第100个乒乓球。
参考答案：
先拿4个，他拿n个，你拿6-n，依此类推，保证你能得到第100个乒乓球。(1<=n<=5)
试题扩展：
1、假设排列着100个乒乓球，由两个人轮流拿球装入口袋，能拿到第100个乒乓球的人为胜利者。条件是：每次拿球者至少要拿2个，但最多不能超过7个，问：如果你是最先拿球的人，你该拿几个?以后怎么拿就能保证你能得到第100个乒乓球?(先拿1个，他拿n个，你拿9-n，依此类推)
2、假设排列着X个乒乓球，由两个人轮流拿球装入口袋，能拿到第X个乒乓球的人为胜利者。条件是：每次拿球者至少要拿Y个，但最多不能超过Z个，问：如果你是最先拿球的人，你该拿几个?以后怎么拿就能保证你能得到第X个乒乓球?(先拿X/(Y+Z)的余数个，他拿n个，你拿(Y+Z)-n，依此类推。当然必须保证X/(Y+Z)的余数不等于0)
小学生智力题及答案二：分割金条
你让工人为你工作7天，给工人的回报是一根金条。金条平分成相连的7段，你必须在每天结束时给他们一段金条，如果只许你两次把金条弄断，你如何给你的工人付费?
解题思路：
本题实质问题是数字表示问题。由1、2两个数字可表示1-3三个数字。由1、2、4三个数字可表示1-7七个数字(即1，2，1+2，4，4+1，4+2，4+2+1)。由1、2、4、8四个数字可表示1-15十五个数字。依此类推。
参考答案：
把金条分成1/7、2/7和4/7三份。这样，第1天我就可以给他1/7;第2天我给他2/7，让他找回我1/7;第3天我就再给他1/7，加上原先的2/7就是3/7;第4天我给他那块4/7，让他找回那两块1/7和2/7的金条;第5天，再给他1/7;第6天和第2天一样;第7天给他找回的那个1/7。
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试题拓展：
1、你让工人为你工作15天，给工人的回报是一根金条。金条平分成相连的15段，你必须在每天结束时给他们一段金条，如果只许你三次把金条弄断，你如何给你的工人付费?(1/15，2/15，4/15，8/15)
2、你让工人为你工作31天，给工人的回报是一根金条。金条平分成相连的31段，你必须在每天结束时给他们一段金条，如果只许你四次把金条弄断，你如何给你的工人付费?(1/31，2/31，4/31，8/31，16/31)
3、你让工人为你工作(2^n)-1天，给工人的回报是一根金条。金条平分成相连的(2^n)-1段，你必须在每天结束时给他们一段金条，如果只许你n-1次把金条弄断，你如何给你的工人付费?(1/((2^n)-1)，2/((2^n)-1)，4/((2^n)-1)，...)
4.人民币为什么只有1、2、5、10的面值?(便于找零钱。理想状态下应是1、2、4、8，在现实生活中常用10进制，故将4、8变为5、10。只要2有两个，1、2、2、5、10五个数字可表示1-20。)
小学生智力题及答案三：喝汽水问题
1元钱一瓶汽水，喝完后两个空瓶换一瓶汽水，问：你有20元钱，最多可以喝到几瓶汽水?
解题思路1：
一开始20瓶没有问题，随后的10瓶和5瓶也都没有问题，接着把5瓶分成4瓶和1瓶，前4个空瓶再换2瓶，喝完后2瓶再换1瓶，此时喝完后手头上剩余的空瓶数为2个，把这2个瓶换1瓶继续喝，喝完后把这1个空瓶换1瓶汽水，喝完换来的那瓶再把瓶子还给人家即可，所以最多可以喝的汽水数为：20+10+5+2+1+1+1=40
解题思路2：
先看1元钱最多能喝几瓶汽水。喝1瓶余1个空瓶，借商家1个空瓶，2个瓶换1瓶继续喝，喝完后把这1个空瓶还给商家。即1元钱最多能喝2瓶汽水。20元钱当然最多能喝40瓶汽水。
解题思路3：
两个空瓶换一瓶汽水，可知纯汽水只值5角钱。20元钱当然最多能喝40瓶的纯汽水。N元钱当然最多能喝2N瓶汽水。
参考答案：
40瓶
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试题拓展：
1、1元钱一瓶汽水，喝完后两个空瓶换一瓶汽水，问：你有N元钱，最多可以喝到几瓶汽水?(答案2N)
2、9角钱一瓶汽水，喝完后三个空瓶换一瓶汽水，问：你有18元钱，最多可以喝到几瓶汽水?(答案30)
3、1元钱一瓶汽水，喝完后四个空瓶换一瓶汽水，问：你有15元钱，最多可以喝到几瓶汽水?(答案20)
小学生智力题及答案四：燃绳问题
烧一根不均匀的绳，从头烧到尾总共需要1个小时。现在有若干条材质相同的绳子，问如何用烧绳的方法来计时一个小时十五分钟呢?
解题思路：
烧一根这样的绳，从头烧到尾1个小时。由此可知，头尾同时烧共需半小时。同时烧两根这样的绳，一个烧一头，一个烧两头;当烧两头的绳燃尽时，共要半小时，烧一头的绳继续烧还需半小时;如果此时将烧一头的绳的另一头也点燃，那么只需十五分钟。
参考答案：
同时燃两根这样的绳，一个烧一头，一个烧两头;等一根燃尽，将另一根掐灭备用。标记为绳2。再找一根这样的绳，标记为绳1。一头燃绳1需要1个小时，再两头燃绳2需十五分钟，用此法可计时一个小时十五分钟。
小学生智力题及答案五：鬼谷考徒
孙膑，庞涓都是鬼谷子的徒弟;一天鬼出了这道题目：他从2到99中选出两个不同的整数，把积告诉孙，把和告诉庞。
庞说：我虽然不能确定这两个数是什么，但是我肯定你也不知道这两个数是什么。
孙说：我本来的确不知道，但是听你这么一说，我现在能够确定这两个数字了。
庞说：既然你这么说，我现在也知道这两个数字是什么了。
问这两个数字是什么?为什么?
解题思路1：
假设数为 X,Y;和为X+Y=A,积为X*Y=B.
根据庞第一次所说的：“我肯定你也不知道这两个数是什么”。由此知道，X+Y不是两个素数之和。那么A的可能11,17,23,27,29,35,37,41,47,51,53,57,59,65,67,71,77,79,83,87,89,95,97.
我们再计算一下B的可能值：
和是11能得到的积:18,24,28,30
和是17能得到的积:30,42,52,60,66,70,72
和是23能得到的积:42,60...
和是27能得到的积:50,72...
和是29能得到的积:...
和是35能得到的积:66...
和是37能得到的积:70...
......
我们可以得出可能的B为....，当然了，有些数(30=5*6=2*15)出现不止一次。
这时候，孙依据自己的数比较计算后，“我现在能够确定这两个数字了。”
我们依据这句话，和我们算出来的B的集合，我们又可以把计算出来的B的集合删除一些重复数。
和是11能得到的积:18,24,28
和是17能得到的积:52
和是23能得到的积:42,76...
和是27能得到的积:50,92...
和是29能得到的积:54,78...
和是35能得到的积:96,124...
和是37能得到的积:,...
......
因为庞说：“既然你这么说，我现在也知道这两个数字是什么了。”那么由和得出的积也必须是唯一的，由上面知道只有一行是剩下一个数的，那就是和17积52。 那么X和Y分别是4和13。
解题思路2：
说话依次编号为S1，P1，S2。
设这两个数为x，y，和为s，积为p。
由S1，P不知道这两个数，所以s不可能是两个质数相加得来的，而且s<=41，因为如果s>41，那么P拿到41×(s-41)必定可以猜出s了(关于这一点，参考老马的证明，这一点很巧妙，可以省不少事情)。所以和s为{11，17，23，27，29，35，37，41}之一，设这个集合为A。
1).假设和是11。11=2+9=3+8=4+7=5+6，如果P拿到18，18=3×6=2×9，只有2+9落在集合A中，所以P可以说出P1，但是这时候S能不能说出S2呢?我们来看，如果P拿到24，24=6×4=3×8=2×12，P同样可以说P1，因为至少有两种情况P都可以说出P1，所以A就无法断言S2，所以和不是11。
2).假设和是17。17=2+15=3+14=4+13=5+12=6+11=7+10=8+9，很明显，由于P拿到4×13可以断言P1，而其他情况，P都无法断言P1，所以和是17。
3).假设和是23。23=2+21=3+20=4+19=5+18=6+17=7+16=8+15=9+14=10+13=11+12，咱们先考虑含有2的n次幂或者含有大质数的那些组，如果P拿到4×19或7×16都可以断言P1，所以和不是23。
4).假设和是27。如果P拿到8×19或4×23都可以断言P1，所以和不是27。
5).假设和是29。如果P拿到13×16或7×22都可以断言P1，所以和不是29。
6).假设和是35。如果P拿到16×19或4×31都可以断言P1，所以和不是35。
7).假设和是37。如果P拿到8×29或11×26都可以断言P1，所以和不是37。
8).假设和是41。如果B拿到4×37或8×33，都可以断言P1，所以和不是41。
综上所述：这两个数是4和13。
解题思路3：
孙庞猜数的手算推理解法
1)按照庞的第一句话的后半部分，我们肯定庞知道的和S肯定不会大于54。
因为如果和54<S<54+99，那么S可以写为S=53+a，a<=99。如果鬼谷子选的两个数字
恰好是53和a，那么孙知道的积M就是M=53*a，于是孙知道，这原来两个数中至少有
一个含有53这个因子，因为53是个素数。可是小于100，又有53这个因子的，只能是
53本身，所以孙就可以只凭这个积53*a推断出这两个数术53和a。所以如果庞知道的
S大于54的话，他就不敢排除两个数是53和a这种可能，也就不敢贸然说“但是我肯定
你也不知道这两个数是什么”这种话。
如果53+99<S<=97+99，那么S可以写为S=97+a，同以上推理，也不可能。
如果S=98+99，那么庞可以立刻判断出，这两个数只能是98和99，而且M只能是98*99，
孙也可以知道这两个术，所以显然不可能。
2)按照庞的第一句话的后半部分，我们还可以肯定庞知道的和S不可以表示为两个素数的和。
否则的话，如果鬼谷子选的两个数字恰好就是这两个素数，那么孙知道积M后，就可以得到唯一的素因子分解，判断出结果。于是庞还是不敢说“但是我肯定你也不知道这两个数是什么”这种话。
根据哥德巴赫猜想，任何大于4的偶数都可以表示为两个素数之和，对54以下的偶数，猜想肯定被验证过，所以S一定不能是偶数。
另外型为S=2+p的奇数，其中p是奇素数的那些S也同样要排除掉。
还有S=51也要排除掉，因为51=17+2*17。如果鬼谷子选的是(17,2*17)，那么孙知道
的将是M=2*17*17，他对鬼谷子原来的两数的猜想只能是(17,2*17)。(为什么51要单独拿出来，要看下面的推理)
3)于是我们得到S必须在以下数中：
11 17 23 27 29 35 37 41 47 53
另外一方面，只要庞的S在上面这些数中，他就可以说“但是我肯定你也不知道这两个
数是什么”，因为这些数无论怎么拆成两数和，都至少有一个数是合数(必是一偶一
奇，如果偶的那个大于2，它就是合数，如果偶的那个等于2，我们上面的步骤已经保
证奇的那个是合数)，也就是S只能拆成
a) S=2+a*b 或 b) S=a+2^n*b
这两个样子，其中a和b都是奇数，n>=1。
那么(下面我说的“至少两组数”中的两组数都不相同，而且的确存在(也就是那些
数都小于100)的理由我就不写了，根据条件很显然)
a)或者孙的M=2*a*b，孙就会在(2*a,b)和(2,a*b)至少两组数里拿不定主意(a和
b都是奇数，所以这两组数一定不同);
b)或者M=2^n*a*b，
如果n>1，那么孙就会在(2^(n-1)*a,2*b)和(2^n*a,b)至少两组数里拿不定主意;
如果n=1，而且a不等于b，那么孙就会在(2*a,b)和(2b,a)至少两组数里拿不定主
意;
如果n=1，而且a等于b，这意味着S=a+2*a=3a，所以S一定是3的倍数，我们只要
讨论S=27就可以了。27如果被拆成了S=9+18，那么孙拿到的M=9*18，他就会在
(9，18)和(27,6)至少两组数里拿不定主意。
(上面对51的讨论就是从这最后一种情况的讨论发现的，我不知道上面的论证是否
过分烦琐了，但是看看51这个“特例”，我怀疑严格的论证可能就得这么烦)
现在我们知道，当且仅当庞得到的和数S在
C={11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 53}
中，他才会说出“我虽然不能确定这两个数是什么，但是我肯定你也不知道这两个数
是什么”这句话
孙膑可以和我们得到同样的结论，他还比我们多知道那个M。
4)孙的话“我现在能够确定这两个数字了”表明，他把M分解成素因子后，然后组合成
关于鬼谷子的那两个数的若干个猜想中，有且仅有一个猜想的和在C中。否则的话，他
还是会在多个猜想之间拿不定主意。
庞涓听了孙的话也可以得到和我们一样的结论，他还比我们多知道那个S。
5)庞的话“我现在也知道这两个数字是什么了”表明，他把S拆成两数和后，也得到了
关于鬼谷子的那两个数的若干个猜想，但是在所有这些拆法中，只有一种满足4)里的
条件，否则他不会知道究竟是哪种情况，使得孙膑推断出那两个数来。
于是我们可以排除掉C中那些可以用两种方法表示为S=2^n+p的S，其中n>1，p为素数。
因为如果S=2^n1+p1=2^n2+p2，无论是(2^n1,p1)还是(2^n2,p2)这两种情况，孙膑都
可以由M=2^n1*p1或M=2^n2*p2来断定出正确的结果，因为由M得到的各种两数组合，
只有(2^n,p)这样的组合，两数和才是奇数，从而在C中，于是孙膑就可以宣布自己知道
了是怎么回事，可庞涓却还得为(2^n1,p1)还是(2^n2,p2)这两种情况犯愁。
因为11=4+7=8+3，23=4+19=16+7，27=4+23=16+11，35=4+31=16+19，37=8+29=32+5，
47=4+43=16+31。于是S的可能值只能在
17 29 41 53
中。让我们继续缩小这个表。
29不可能，因为29=2+27=4+25。无论是(2,27)和(4,25)，孙膑都可以正确判断出来：
a)如果是(2,27)，M=2*27=2*3*3*3，那么孙可以猜的组合是(2,27)(3,18)(6,9)，
后面两种对应的S为21和15，都不在C中，故不可能，于是只能是(2,27)。
b)如果是(4,25)，M=4*25=2*2*5*5，那么孙可以猜的组合是(2,50)(4,25)(5,20)
(10,10)。只有(4,25)的S才在C中。
可是庞涓却要为孙膑的M到底是2*27还是4*25苦恼。
41不可能，因为41=4+37=10+31。后面推理略。
53不可能，因为53=6+47=16+37。后面推理略。
研究一下17。这下我们得考虑所有17的两数和拆法：
(2,15)：那么M=2*15=2*3*5=6*5，而6+5=11也在C中，所以一定不是这个M，否则4)
的条件不能满足，孙“我现在能够确定这两个数字了”的话说不出来。
(3,14)：那么M=3*14=2*3*7=2*21，而2+21=23也在C中。后面推理略。
(4,13)：那么M=4*13=2*2*13。那么孙可以猜的组合是(2,26)(4,13)，只有(4,13)
的和在C中，所以这种情况孙膑可以说4)中的话。
(5,12)：那么M=5*12=2*2*3*5=3*20，而3+20=23也在C中。后面推理略。
(6,11)：那么M=6*11=2*3*11=2*33，而2+33=35也在C中。后面推理略。
(7,10)：那么M=7*10=2*5*7=2*35，而2+35=37也在C中。后面推理略。
(8,9)：那么M=8*9=2*2*2*3*3=3*24，而3+24=27也在C中。后面推理略。
于是在S=17时，只有(4,13)这种情况，孙膑才可以猜出那两数是什么，既然如此，庞涓就知道这两个数是什么，说出“我现在也知道这两个数字是什么了”。听了庞涓的话，于是我们也知道，这两数该是(4,13)。
参考答案：
这两个数字是4和13。原因同上。
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试题拓展：
你有>1并且<30的两个不同的数字只把和告诉甲，然后只把积告诉乙。
甲对乙说：“我不知道这两个数字是什么，但你也肯定不知道。”
乙就说了：“我本来不知道的，你这么一说，我就知道两个数字是什么了。”
甲于是说：“现在我也知道了!”
请问这两个数字是分别是什么? (答案：4和13。)
