2023年新高考I卷数学试题文字版
本试卷共 4 页，22 小题，满分 150 分。考试用时120 分钟
注意事项:
1.答卷前，考生务必用黑色字迹笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答卡上用
2 笔试(A)在答卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。作答选择题时，选出每小题等案后，用 2B 笔把答卡上对应题目选项的答案信息点涂黑:如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，符案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案;不准便用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4.考生必须保持答题爷的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有 一项是符合题目要求的
1. 已知集合 M={-2,-1,0,1,2},N={x∣x^2-x-6≥0}, 则 M∩N=
A. {-2,-1,0,1}
B. {0,1,2}
C. {-2}
D. {2}
2. 已知 z=(1-i)/(2+2i), 则 z-z ?=
A. -i
B. i
C. 0
D. 1
3. 已知向量 a=(1,1),b=(1,-1). 若 (a+λb)⊥(a+μb), 则
A. λ+μ=1
B. λ+μ=-1
C. λμ=1
D. λμ=-1
4. 设函数 f(x)=2^x(x-a) 在区间 (0,1) 单调递减, 则 a 的取值范围是
A. (-∞,-2]
B. [-2,0)
C. (0,2]
D. [2,+∞)
5. 设椭圆 C_1:x^2/a^2 +y^2=1(a>1),C_2:x^2/4+y^2=1 的离心率分别为 e_1,e_2. 若 e_2=√3 e_1, 则 a=
A. (2√3)/3
B. √2
C. √3
D. √6
6. 过点 (0,-2) 与圆 x^2+y^2-4x-1=0 相切的两条直线的夹角为 α, 则 sinα=
A. 1
B. √15/4
C. √10/4
D. √6/4
7. 记 S_n 为数列 {a_n } 的前 n 项和, 设甲: {a_n } 为等差数列; 乙: {S_n/n} 为等差数列, 则
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
8. 已知 sin(α-β)=1/3,cosαsinβ=1/6, 则 cos(2α+2β)=
A. 7/9
B. 1/9
C. -1/9
D. -7/9
选择题: 本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合 题目要求. 全部选对的得 5 分, 部分选对的得 2 分, 有选错的得 0 分
9. 有一组样本数据 x_1,x_2,?,x_6, 其中 x_1 是最小值, x_6 是最大值, 则
A. x_2,x_3,x_4,x_5 的平均数等于 x_1,x_2,?,x_6 的平均数
B. x_2,x_3,x_4,x_5 的中位数等于 x_1,x_2,?,x_6 的中位数
C. x_2,x_3,x_4,x_5 的标准差不小于 x_1,x_2,?,x_6 的标准差
D. x_2,x_3,x_4,x_5 的极差不大于 x_1,x_2,?,x_6 的极差
10. 噪声污染问题越来越受到重视, 用声压级来度量声音的强弱, 定义声压级 L_p= 20×lg p/p_0 , 其中常数 p_0 (p_0>0) 是听觉下限阑值, p 是实际声压. 下表为不同声源 的声压级:
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车 10 m 处测得实际声压分别为 p_1,p_2,p_3, 则
A. p_1≥p_2
B. p_2>10p_3
C. p_3=100p_0
D. p_1≤100p_2
11. 已知函数 f(x) 的定义域为 R,f(xy)=y^2 f(x)+x^2 f(y), 则
A. f(0)=0
B. f(1)=0
C. f(x) 是偶函数
D. x=0 为 f(x) 的极小值点
12. 下列物体中, 能够被整体放入核长为 1 (単位: m ) 的正方体容器 (容器壁厚度忽略不 计)内的有
A. 直径为 0.99 m 的球体
B. 所有棱长均为 1.4 m 的四面体
C. 底面直径为 0.01 m, 高为 1.8 m 的圆柱体
D. 底面直径为 1.2 m, 高为 0.01 m 的圆柱体
三、填空题: 本大题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分.
13. 某学校开设了 4 门体育类选修课和 4 门艺术类选修课, 学生需从这 8 门课中选修 2 门或 3 门课, 并且每类选修课至少选修 1 门, 则不同的选课方案共有 种 (用数字作答).
14. 在正四棱台 ABCD-A_1 B_1 C_1 D_1 中, AB=2,A_1 B_1=1,AA_1=√2, 则该棱台的体积为
15. 已知函数 f(x)=cosωx-1(ω>0) 在区间 [0,2π] 有且仅有 3 个零点, 则 ω 的取值范围是
16. 已知双曲线 C:x^2/a^2 -y^2/b^2 =1(a>0,b>0) 的左、右焦点分别为 F_1,F_2. 点 A 在 C 上. 点 B 在 y 轴上, (F_1 A) ?⊥(F_1 B) ?,(F_2 A) ?=-2/3 (F_2 B) ?, 则 C 的离心率为
四、解答题: 本大题共 6 小题, 共 70 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知在 △ABC 中, A+B=3C,2sin(A-C)=sinB.
(1) 求 sinA;
(2)设 AB=5, 求 AB 边上的高.
18. 如图, 在正四棱杜 ABCD-A_1 B_1 C_1 D_1 中, AB=2,AA_1=4. 点 A_2,B_2,C_2,D_2 分别在棱 AA_1,BB_1,CC_1,DD_1 上, AA_2=1, BB_2=DD_2=2,CC_2=3.
(1) 证明: B_2 C_2//A_2 D_2;
(2) 点 P 在棱 BB_1 上, 当二面角 P-A_2 C_2-D_2 为 150^? 时, 求B_2 P.
19. 已知函数 f(x)=a(e^x+a)-x.
(1) 讨论 f(x) 的単调性;
(2)证明: 当 a>0 时, f(x)>2lna+3/2.
20. 设等差数列 {a_n } 的公差为 d, 且 d>1, 令 b_n=(n^2+n)/a_n , 记 S_n,T_n 分别为数列 {a_n }, {b_n } 的前 n 项和.
(1) 若 3a_2=3a_1+a_3,S_3+T_3=21, 求 {a_n } 的通项公式;
( 2 ) 若 {b_n } 为等差数列, 且 S_99-T_99=99, 求 d.
21. 甲乙两人投篮, 每次由其中一人投篮, 规则如下: 若命中则此人继续投篮, 若末命中则 换为对方投篮. 无论之前投篮情况如何, 甲每次投篮的命中率均为 0.6 , 乙每次投篮的 命中率均为 0.8 , 由抽签决定第一次投篮的人选, 第一次投篮的人是甲, 乙的概率各为 0.5 .
( 1 ) 求第 2 次投篮的人是乙的概率;
( 2 ) 求第 i 次投篮的人是甲的概率;
( 3 ) 已知: 若随机变量 X_i 服从两点分布, 且 P(X_i=1)=1-P(X_i=0)=q_i,i= 1,2,?,n, 则 E(∑_(i=1)^n?X_i )=∑_(i=1)^n?q_i , 记前 n 次 (即从第 1 次到第 n 次投篮) 中甲 投篮的次数为 Y, 求 E(Y).
22. 在直角坐标系 xOy 中, 点 P 到 x 轴的距离等于点 P 到点 (0,1/2) 的距离, 记动点 P 的轨迹为 W.
(1) 求 W 的方程;
( 2 ) 已知矩形 ABCD 有三个顶点在 W 上, 证明: 矩形 ABCD 的周长大于 3√3.
高考数学常考题型答题技巧与方法
1、解决绝对值问题
主要包括化简、求值、方程、不等式、函数等题，基本思路是：把含绝对值的问题转化为不含绝对值的问题。
具体转化方法有：
①分类讨论法:根据绝对值符号中的数或式子的正、零、负分情况去掉绝对值。
②零点分段讨论法：适用于含一个字母的多个绝对值的情况。
③两边平方法：适用于两边非负的方程或不等式。
④几何意义法：适用于有明显几何意义的情况。
2、因式分解
根据项数选择方法和按照一般步骤是顺利进行因式分解的重要技巧。因式分解的一般步骤是：
提取公因式
选择用公式
十字相乘法
分组分解法
拆项添项法
3、配方法
利用完全平方公式把一个式子或部分化为完全平方式就是配方法，它是数学中的重要方法和技巧。配方法的主要根据有：
4、换元法
解某些复杂的特型方程要用到“换元法”。换元法解方程的一般步骤是：
设元→换元→解元→还元
5、待定系数法
待定系数法是在已知对象形式的条件下求对象的一种方法。适用于求点的坐标、函数解析式、曲线方程等重要问题的解决。其解题步骤是：①设②列③解④写
6、复杂代数等式
复杂代数等式型条件的使用技巧：左边化零，右边变形。
①因式分解型：
(-----)(----)=0两种情况为或型
②配成平方型：
(----)2+(----)2=0两种情况为且型
7、数学中两个最伟大的解题思路
(1)求值的思路列欲求值字母的方程或方程组
(2)求取值范围的思路列欲求范围字母的不等式或不等式组
8、化简二次根式
基本思路是：把√m化成完全平方式。即：
9、观察法
10、代数式求值
方法有：
(1)直接代入法
(2)化简代入法
(3)适当变形法(和积代入法)
注意：当求值的代数式是字母的“对称式”时，通常可以化为字母“和与积”的形式，从而用“和积代入法”求值。
11、解含参方程
方程中除过未知数以外，含有的其它字母叫参数，这种方程叫含参方程。解含参方程一般要用‘分类讨论法’，其原则是：
(1)按照类型求解
(2)根据需要讨论
(3)分类写出结论
12、恒相等成立的有用条件
(1)ax+b=0对于任意x都成立关于x的方程ax+b=0有无数个解a=0且b=0。
(2)ax2+bx+c=0对于任意x都成立关于x的方程ax2+bx+c=0有无数解a=0、b=0、c=0。
13、恒不等成立的条件
由一元二次不等式解集为R的有关结论容易得到下列恒不等成立的条件：
14、平移规律
图像的平移规律是研究复杂函数的重要方法。平移规律是：
15、图像法
讨论函数性质的重要方法是图像法——看图像、得性质。
定义域图像在X轴上对应的部分
值域图像在Y轴上对应的部分
单调性从左向右看，连续上升的一段在X轴上对应的区间是增区间;从左向右看，连续下降的一段在X轴上对应的区间是减区间。
最值图像点处有值，图像最低点处有最小值
奇偶性关于Y轴对称是偶函数，关于原点对称是奇函数
高三数学最快的方法
一、分类记忆法
遇到数学公式较多，一时难于记忆时，可以将这些公式适当分组。
例如求导公式有18个，就可以分成四组来记：
(1)常数与幂函数的导数(2个);
(2)指数与对数函数的导数(4个);
(3)三角函数的导数(6个);
(4)反三角函数的导数(6个)。
求导法则有7个，可分为两组来记：
(1)和、差、积、商复合函数的导数(4个);
(2)反函数、隐函数、幂指数函数的导数(3个)。
二、推理记忆法
许多数学知识之间逻辑关系比较明显，要记住这些知识，只需记忆一个，而其余可利用推理得到，这种记忆称为推理记忆。例如，平行四边形的性质，我们只要记住它的定义，由定义推理得它的任一对角线把它平分成两个全等三角形，继而又推得它的对边相等，对角相等，相邻角互补，两条对角线互相平分等性质。
三、标志记忆法
在学习某一章节知识时，先看一遍，对于重要部分用彩笔在下面画上波浪线，再记忆时，就不需要将整个章节的内容从头到尾逐字逐句的看了，只要看划重点的地方并在它的启示下就能记住本章节主要内容，这种记忆称为标志记忆。
四、回想记忆法
在重复记忆某一章节的知识时，不看具体内容，而是通过大脑回想达到重复记忆的目的，这种记忆称为回想记忆。
