北京卷2022高考数学试题
2022年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)
数学
本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分(选择题 共40分)
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.已知全集，集合，则( )
A. B. C. D.
2.若复数z满足，则( )
A.1 B.5 C.7 D.25
3.若直线是圆的一条对称轴，则( )
A. B. C.1 D.
4.已知函数，则对任意实数x，有( )
A. B.
C. D.
5.已知函数，则( )
A.在上单调递减 B.在上单调递增
C.在上单调递减 D.在上单调递增
6.设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
7.在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K;P表示压强，单位是.下列结论中正确的是( )
A.当，时，二氧化碳处于液态
B.当，时，二氧化碳处于气态
C.当，时，二氧化碳处于超临界状态
D.当，时，二氧化碳处于超临界状态
8.若，则( )
A.40 B.41 C. D.
9.已知正三棱锥的六条棱长均为6，S是及其内部的点构成的集合.设集合，则T表示的区域的面积为( )
A. B. C. D.
10.在中，.P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
第二部分(非选择题 共110分)
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11.函数的定义域是_________.
12.已知双曲线的渐近线方程为，则__________.
13.若函数的一个零点为，则________;________.
14.设函数若存在最小值，则a的一个取值为________;a的最大值为___________.
15.已知数列的各项均为正数，其前n项和满足.给出下列四个结论：
①的第2项小于3; ②为等比数列;
③为递减数列; ④中存在小于的项.
其中所有正确结论的序号是__________.
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16.(本小题13分)
在中，.
(I)求;
(II)若，且的面积为，求的周长.
17.(本小题14分)
如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，AC的中点.
(I)求证：平面;
(II)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值.
条件①：;
条件②：.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
18.(本小题13分)
在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上(含)的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据(单位：m)：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25;
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23;
丙：9.85，9.65，9.20，9.16.
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.
(I)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率;
(II)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望EX;
(III)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大?(结论不要求证明)
19.(本小题15分)
已知椭圆的一个顶点为，焦距为.
(I)求椭圆E的方程;
(II)过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当时，求k的值.
20.(本小题15分)
已知函数.
(I)求曲线在点处的切线方程;
(II)设，讨论函数在上的单调性;
(III)证明：对任意的，有.
21.(本小题15分)
已知为有穷整数数列.给定正整数m，若对任意的，在Q中存在，使得，则称Q为连续可表数列.
(I)判断是否为连续可表数列?是否为连续可表数列?说明理由;
(II)若为连续可表数列，求证：k的最小值为4;
(III)若为连续可表数列，且，求证：.
2022年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)
数学参考答案
第一部分(选择题 共40分)
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. D 2. B 3. A 4. C 5. C 6. C 7. D 8. B 9. B 10. D
第二部分(非选择题 共110分)
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11.
12.
13. ①. 1 ②.
14. ①. 0(答案不唯一) ②. 1
15.①③④
三、解答题共6小愿，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16.(1)
(2)
17.(1)取的中点为，连接，
由三棱柱可得四边形为平行四边形，
而，则，
而平面，平面，故平面，
而，则，同理可得平面，
而平面，
故平面平面，而平面，故平面，
(2)因为侧面为正方形，故，
而平面，平面平面，
平面平面，故平面，
因为，故平面，
因为平面，故，
若选①，则，而，，
故平面，而平面，故，
所以，而，，故平面，
故可建立如所示的空间直角坐标系，则，
故，
设平面的法向量为，
则，从而，取，则，
设直线与平面所成的角为，则
.
若选②，因，故平面，而平面，
故，而，故，
而，，故，
所以，故，
而，，故平面，
故可建立如所示的空间直角坐标系，则，
故，
设平面的法向量为，
则，从而，取，则，
设直线与平面所成的角为，则
.
18.(1)0.4 (2)
(3)丙
19.(1)
(2)
20.(1)
(2)在上单调递增.
(3)解：原不等式等价于，
令，，
即证，
∵，
，
由(2)知在上单调递增，
∴，
∴
∴在上单调递增，又因为，
∴，所以命题得证.
21.(1)是连续可表数列;不是连续可表数列.
(2)若,设为,则至多，6个数字，没有个，矛盾;
当时,数列，满足，，，，，，，， .
(3)，若最多有种，若，最多有种，所以最多有种，
若，则至多可表个数，矛盾,
从而若,则，至多可表个数，
而，所以其中有负的，从而可表1~20及那个负数(恰 21个)，这表明中仅一个负的，没有0，且这个负的在中绝对值最小，同时中没有两数相同,设那个负数为 ，
则所有数之和，，
，再考虑排序，排序中不能有和相同，否则不足个，
(仅一种方式)，
与2相邻，
若不在两端,则形式，
若，则(有2种结果相同，方式矛盾)，
， 同理 ，故在一端，不妨为形式，
若,则 (有2种结果相同，矛盾)，同理不行，
，则 (有2种结果相同，矛盾)，从而，
由于,由表法唯一知3,4不相邻,、
故只能，①或，②
这2种情形，
对①：，矛盾，
对②：，也矛盾，综上
.
学数学的小窍门
1.学数学要善于思考，自己想出来的答案远比别人讲出来的答案印象深刻。
2.课前要做好预习，这样上数学课时才能把不会的知识点更好的消化吸收掉。
3.数学公式一定要记熟，并且还要会推导，能举一反三。
4.学好数学最基础的就是把课本知识点及课后习题都掌握好。
5.数学80%的分数来源于基础知识，20%的分数属于难点，所以考120分并不难。
6.数学需要沉下心去做，浮躁的人很难学好数学，踏踏实实做题才是硬道理。
7.数学要想学好，不琢磨是行不通的，遇到难题不能躲，研究明白了才能罢休。
8.数学最主要的就是解题过程，懂得数学思维很关键，思路通了，数学自然就会了。
9.数学不是用来看的，而是用来算的，或许这一秒没思路，当你拿起笔开始计算的那一秒，就豁然开朗了。
10.数学题目不会做，原因之一就是例题没研究明白，所以数学书上的例题绝对不要放过。
学习数学需要注意什么
一、课内重视听讲，课后及时复习
接受一种新的知识，主要实在课堂上进行的，所以要重视课堂上的学习效率，找到适合自己的学习方法，上课时要跟住老师的思路，积极思考。下课之后要及时复习，遇到不懂的地方要及时去问，在做作业的时候，先把老师课堂上讲解的内容回想一遍，还要牢牢的掌握公式及推理过程，尽量不要去翻书。尽量自己思考，不要急于翻看答案。还要经常性的总结和复习，把知识点结合起来，变成自己的知识体系。
二、多做题，养成良好的解题习惯
要想学好数学，大量做题是必可避免的，熟练地掌握各种题型，这样才能有效的提高数学成绩。刚开始做题的时候先以书上习题为主，答好基础，然后逐渐增加难度，开拓思路，练习各种类型的解题思路，对于容易出现错误的题型，应该记录下来，反复加以联系。在做题的时候应该养成良好的解题习惯，集中注意力，这样才能进入最佳的状态，形成习惯，这样在考试的时候才能运用自如。
学好数学的几条建议
1、要有学习数学的兴趣。“兴趣是最好的老师”。做任何事情，只要有兴趣，就会积极、主动去做，就会想方设法把它做好。但培养数学兴趣的关键是必须先掌握好数学基础知识和基本技能。有的同学老想做难题，看到别人上数奥班，自己也要去。如果这些同学连课内的基础知识都掌握不好，在里面学习只能滥竽充数，对学习并没有帮助，反而使自己失去学习数学的信心。我建议同学们可以看一些数学名人小故事、趣味数学等知识来增强学习的自信心。
2、要有端正的学习态度。首先，要明确学习是为了自己，而不是为了老师和父母。因此，上课要专心、积极思考并勇于发言。其次，回家后要认真完成作业，及时地把当天学习的知识进行复习，再把明天要学的内容做一下预习，这样，学起来会轻松，理解得更加深刻些。
3、要有“持之以恒”的精神。要使学习成绩提高，不能着急，要一步一步地进行，不要指望一夜之间什么都学会了。即使进步慢一点，只要坚持不懈，也一定能在数学的学习道路上获得成功!还要有“不耻下问”的精神，不要怕丢面子。其实无论知识难易，只要学会了，弄懂了，那才是最大的面子!
4、要注重学习的技巧和方法。不要死记硬背一些公式、定律，而是要靠分析、理解，做到灵活运用，举一反三。特别要重视课堂上学习新知识和分析练习的时候，不能思想开小差，管自己做与学习无关的事情。注意力一定要高度集中，并积极思考，遇到不懂题目时要及时做好记录，课后和同学进行探讨，做好查漏补缺。
5、要有善于观察、阅读的好习惯。只要我们做数学的有心人，细心观察、思考，我们就会发现生活中到处都有数学。除此之外，同学们还可以从多方面、多种渠道来学习数学。如：从电视、网络、《小学生数学报》、《数学小灵通》等报刊杂志上学习数学，不断扩展知识面。
6、要有自己的观点。现在，大部分同学遇到一些较难或不清楚的问题时，就不加思考，轻易放弃了，有的干脆听从老师、父母、书本的意见。即使是老师、长辈、书籍等权威，也不是没有一点儿失误的，我们要重视权威的意见，但绝不等于不加思考的认同。
7、要学会概括和积累。及时总结解题规律，特别是积累一些经典和特殊的题目。这样既可以学得轻松，又可以提高学习的效率和质量。
8、要重视其他学科的学习。因为各个学科之间是有着密切的联系，它对学习数学有促进的作用。如：学好语文对数学题目的理解有很大的帮助等等。
高考数学必考知识点
1、圆柱体:
表面积:2πRr+2πRh体积:πR2h(R为圆柱体上下底圆半径,h为圆柱体高)
2、圆锥体:
表面积:πR2+πR[(h2+R2)的平方根]体积:πR2h/3(r为圆锥体低圆半径,h为其高,
3、正方体
a-边长,S=6a2,V=a3
4、长方体
a-长,b-宽,c-高S=2(ab+ac+bc)V=abc
5、棱柱
S-底面积h-高V=Sh
6、棱锥
S-底面积h-高V=Sh/3
7、棱台
S1和S2-上、下底面积h-高V=h[S1+S2+(S1S2)^1/2]/3
8、拟柱体
S1-上底面积,S2-下底面积,S0-中截面积
h-高,V=h(S1+S2+4S0)/6
9、圆柱
r-底半径,h-高,C—底面周长
S底—底面积,S侧—侧面积,S表—表面积C=2πr
S底=πr2,S侧=Ch,S表=Ch+2S底,V=S底h=πr2h
10、空心圆柱
R-外圆半径,r-内圆半径h-高V=πh(R^2-r^2)
11、直圆锥
r-底半径h-高V=πr^2h/3
12、圆台
r-上底半径,R-下底半径,h-高V=πh(R2+Rr+r2)/3
13、球
r-半径d-直径V=4/3πr^3=πd^3/6
14、球缺
h-球缺高,r-球半径,a-球缺底半径V=πh(3a2+h2)/6=πh2(3r-h)/3
15、球台
r1和r2-球台上、下底半径h-高V=πh[3(r12+r22)+h2]/6
16、圆环体
R-环体半径D-环体直径r-环体截面半径d-环体截面直径
V=2π2Rr2=π2Dd2/4
17、桶状体
D-桶腹直径d-桶底直径h-桶高
V=πh(2D2+d2)/12,(母线是圆弧形,圆心是桶的中心)
V=πh(2D2+Dd+3d2/4)/15(母线是抛物线形)
