2022北京卷高考数学真题
2022年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)
数学
本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分(选择题 共40分)
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.已知全集，集合，则( )
A. B. C. D.
2.若复数z满足，则( )
A.1 B.5 C.7 D.25
3.若直线是圆的一条对称轴，则( )
A. B. C.1 D.
4.已知函数，则对任意实数x，有( )
A. B.
C. D.
5.已知函数，则( )
A.在上单调递减 B.在上单调递增
C.在上单调递减 D.在上单调递增
6.设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
7.在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K;P表示压强，单位是.下列结论中正确的是( )
A.当，时，二氧化碳处于液态
B.当，时，二氧化碳处于气态
C.当，时，二氧化碳处于超临界状态
D.当，时，二氧化碳处于超临界状态
8.若，则( )
A.40 B.41 C. D.
9.已知正三棱锥的六条棱长均为6，S是及其内部的点构成的集合.设集合，则T表示的区域的面积为( )
A. B. C. D.
10.在中，.P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
第二部分(非选择题 共110分)
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11.函数的定义域是_________.
12.已知双曲线的渐近线方程为，则__________.
13.若函数的一个零点为，则________;________.
14.设函数若存在最小值，则a的一个取值为________;a的最大值为___________.
15.已知数列的各项均为正数，其前n项和满足.给出下列四个结论：
①的第2项小于3; ②为等比数列;
③为递减数列; ④中存在小于的项.
其中所有正确结论的序号是__________.
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16.(本小题13分)
在中，.
(I)求;
(II)若，且的面积为，求的周长.
17.(本小题14分)
如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，AC的中点.
(I)求证：平面;
(II)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值.
条件①：;
条件②：.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
18.(本小题13分)
在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上(含)的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据(单位：m)：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25;
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23;
丙：9.85，9.65，9.20，9.16.
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.
(I)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率;
(II)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望EX;
(III)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大?(结论不要求证明)
19.(本小题15分)
已知椭圆的一个顶点为，焦距为.
(I)求椭圆E的方程;
(II)过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当时，求k的值.
20.(本小题15分)
已知函数.
(I)求曲线在点处的切线方程;
(II)设，讨论函数在上的单调性;
(III)证明：对任意的，有.
21.(本小题15分)
已知为有穷整数数列.给定正整数m，若对任意的，在Q中存在，使得，则称Q为连续可表数列.
(I)判断是否为连续可表数列?是否为连续可表数列?说明理由;
(II)若为连续可表数列，求证：k的最小值为4;
(III)若为连续可表数列，且，求证：.
2022年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)
数学参考答案
第一部分(选择题 共40分)
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. D 2. B 3. A 4. C 5. C 6. C 7. D 8. B 9. B 10. D
第二部分(非选择题 共110分)
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11.
12.
13. ①. 1 ②.
14. ①. 0(答案不唯一) ②. 1
15.①③④
三、解答题共6小愿，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16.(1)
(2)
17.(1)取的中点为，连接，
由三棱柱可得四边形为平行四边形，
而，则，
而平面，平面，故平面，
而，则，同理可得平面，
而平面，
故平面平面，而平面，故平面，
(2)因为侧面为正方形，故，
而平面，平面平面，
平面平面，故平面，
因为，故平面，
因为平面，故，
若选①，则，而，，
故平面，而平面，故，
所以，而，，故平面，
故可建立如所示的空间直角坐标系，则，
故，
设平面的法向量为，
则，从而，取，则，
设直线与平面所成的角为，则
.
若选②，因，故平面，而平面，
故，而，故，
而，，故，
所以，故，
而，，故平面，
故可建立如所示的空间直角坐标系，则，
故，
设平面的法向量为，
则，从而，取，则，
设直线与平面所成的角为，则
.
18.(1)0.4 (2)
(3)丙
19.(1)
(2)
20.(1)
(2)在上单调递增.
(3)解：原不等式等价于，
令，，
即证，
∵，
，
由(2)知在上单调递增，
∴，
∴
∴在上单调递增，又因为，
∴，所以命题得证.
21.(1)是连续可表数列;不是连续可表数列.
(2)若,设为,则至多，6个数字，没有个，矛盾;
当时,数列，满足，，，，，，，， .
(3)，若最多有种，若，最多有种，所以最多有种，
若，则至多可表个数，矛盾,
从而若,则，至多可表个数，
而，所以其中有负的，从而可表1~20及那个负数(恰 21个)，这表明中仅一个负的，没有0，且这个负的在中绝对值最小，同时中没有两数相同,设那个负数为 ，
则所有数之和，，
，再考虑排序，排序中不能有和相同，否则不足个，
(仅一种方式)，
与2相邻，
若不在两端,则形式，
若，则(有2种结果相同，方式矛盾)，
， 同理 ，故在一端，不妨为形式，
若,则 (有2种结果相同，矛盾)，同理不行，
，则 (有2种结果相同，矛盾)，从而，
由于,由表法唯一知3,4不相邻,、
故只能，①或，②
这2种情形，
对①：，矛盾，
对②：，也矛盾，综上
如何学好数学
其实学习数学是没有什么简单的方法的，都是经过脚踏实地一步步学习的，所以不要想着有什么捷径，我们只有清晰的认识到数学应该怎么学习，才能找到学习数学应该用什么方法。如果你真的打算好好的学习数学，除了在上课的时候，认真的听课以外，最主要的就是做题了，其实理科当中，不仅是数学需要多做题，其他的科目也是需要多做题的。
做题的时候，不能说这道题我们不会，就不做了，一定要好好的研究一下，然后让老师或者是同学给自己讲解一下，自己回来之后，多专研，然后把它写在自己的本子上，最好能有一个单独的本子，记录这些自己不会的题，在记录的时候，要解题的思路和步骤都写好，这样你再翻看的时候，如果还是不会，看到解题的思路和步骤，就会把这道题在心理理顺一遍，这样对自己做这道题有很大的帮助。
学习数学小窍门是什么
学习数学的时候，我们一定要知道学习数学的思维模式是什么，只有掌握了思维模式，看到数学题的时候，我们才能知道怎么去思考，一旦我们有了思路，做什么题都会简单一点，数学当中最重要的就是做题的时候有思路，如果你连思路都没有，这道数学题是不可能会做出来的，数学当中思路的重要性，不用小编说，同学们也都知道，所以在生活中，多多培养自己的这种能力，对于自己学理科很有帮助。
一些理科的思路其实都是有相同点的，所以只要你掌握了一种学习思路，无论是哪个科目你学习起来都会简单很多，数学中，有些题型虽然一样，但是一些同学即使做过相同的题型，还是不太会做，这种情况下，我们的成绩基本就很难提高了。
高中数学常用公式
乘法与因式分
a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)
三角不等式
|a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b
|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|
一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a -b-√(b2-4ac)/2a
根与系数的关系X1+X2=-b/a X1__X2=c/a 注：韦达定理
判别式
b2-4ac=0 注：方程有两个相等的实根
b2-4ac>0 注：方程有两个不等的实根
b2-4ac<0 注：方程没有实根，有共轭复数根
三角函数公式
两角和公式
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)
倍角公式
tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga
cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a
半角公式
sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)
cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)
tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))
ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))
和差化积
2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)
2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)
sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB
ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB
某些数列前n项和
1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2
2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6
13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 1__2+2__3+3__4+4__5+5__6+6__7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3
正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注： 其中 R 表示三角形的外接圆半径
余弦定理b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角
圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：(a,b)是圆心坐标
圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0
抛物线标准方程y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py
直棱柱侧面积S=c__h 斜棱柱侧面积 S=c'__h
正棱锥侧面积S=1/2c__h' 正棱台侧面积 S=1/2(c+c')h'
圆台侧面积S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi__r2
圆柱侧面积S=c__h=2pi__h 圆锥侧面积 S=1/2__c__l=pi__r__l
弧长公式l=a__r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式 s=1/2__l__r
锥体体积公式V=1/3__S__H 圆锥体体积公式 V=1/3__pi__r2h
斜棱柱体积V=S'L 注：其中,S'是直截面面积， L是侧棱长
柱体体积公式V=s__h 圆柱体 V=pi__r2h
数学五大常数
圆周率π≈3.141592653589793
不管圆有多大，它的周长与直径的比值总是一个固定的数。我们就把这个数叫做圆周率，用希腊字母π来表示。
π是数学中最基本、最重要、最神奇的常数之一，它常常出现在一些与几何毫无关系的场合中。例如，任意取出两个正整数，则它们互质(最大公约数为1)的概率为6/π^2。
自然底数
e≈2.718281828459
在17世纪末，瑞士数学家Bernoulli注意到了一个有趣的现象：当x越大时，(1+1/x)^x将会越接近某个固定的数。18世纪的大数学家Euler仔细研究了这个问题，并第一次用字母e来表示当x无穷大时(1+1/x)^的值。他不但求出了e≈2.718，还证明了e是一个无理数。
e的用途也十分广泛，很多公式里都有e的身影。在微积分中，无理数e更是大显神通，这使得它也成为了高等数学中最重要的无理数之一。
虚数单位i
在计算中常用到的是：i^2=-1，即虚数单位的平方为负一。在复数a+bi中，a称为复数的实部，b称为复数的虚部，i称为虚数单位。当虚部等于零时，这个复数就是实数;当虚部不等于零时，这个复数称为虚数，虚数的实部a如果等于零，且虚部b不等于零，则称为纯虚数。由上可知，复数集包含了实数集，因而是实数集的扩张。
数字0
0是-1与1之间的整数。0既不是正数，也不是负数;0不是质数。0是偶数。在数论中，0属于自然数，0没有倒数;在集合论和计算机科学中，0属于自然数。0在整数、实数和其他的代数结构中都有着单位元这个很重要的性质。
数字1
是0与2之间的自然数和正整数。唯一一个既不是质数，又不是合数的正整数。最小的正整数(因为“0”既不是正数也不是负数)。
第二个自然数。既不是质数(素数)，也不是合数。任何数除以1都等于原数。任何数乘1都等于原数。任何数的一次方都等于原数。任何数的一次方根都等于原数。两个互质数的最大公因数是1。
