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2022北京卷高考数学真题

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2022北京卷高考数学真题

2022年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)

数学

本试卷共5页,150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(选择题 共40分)

一、选择题共10小题,每小题4分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。

1.已知全集,集合,则( )

A. B. C. D.

2.若复数z满足,则( )

A.1 B.5 C.7 D.25

3.若直线是圆的一条对称轴,则( )

A. B. C.1 D.

4.已知函数,则对任意实数x,有( )

A. B.

C. D.

5.已知函数,则( )

A.在上单调递减 B.在上单调递增

C.在上单调递减 D.在上单调递增

6.设是公差不为0的无穷等差数列,则“为递增数列”是“存在正整数,当时,”的( )

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

7.在北京冬奥会上,国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术,为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系,其中T表示温度,单位是K;P表示压强,单位是.下列结论中正确的是( )

A.当,时,二氧化碳处于液态

B.当,时,二氧化碳处于气态

C.当,时,二氧化碳处于超临界状态

D.当,时,二氧化碳处于超临界状态

8.若,则( )

A.40 B.41 C. D.

9.已知正三棱锥的六条棱长均为6,S是及其内部的点构成的集合.设集合,则T表示的区域的面积为( )

A. B. C. D.

10.在中,.P为所在平面内的动点,且,则的取值范围是( )

A. B. C. D.

第二部分(非选择题 共110分)

二、填空题共5小题,每小题5分,共25分。

11.函数的定义域是_________.

12.已知双曲线的渐近线方程为,则__________.

13.若函数的一个零点为,则________;________.

14.设函数若存在最小值,则a的一个取值为________;a的最大值为___________.

15.已知数列的各项均为正数,其前n项和满足.给出下列四个结论:

①的第2项小于3; ②为等比数列;

③为递减数列; ④中存在小于的项.

其中所有正确结论的序号是__________.

三、解答题共6小题,共85分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.

16.(本小题13分)

在中,.

(I)求;

(II)若,且的面积为,求的周长.

17.(本小题14分)

如图,在三棱柱中,侧面为正方形,平面平面,,M,N分别为,AC的中点.

(I)求证:平面;

(II)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知,求直线AB与平面BMN所成角的正弦值.

条件①:;

条件②:.

注:如果选择条件①和条件②分别解答,按第一个解答计分.

18.(本小题13分)

在校运动会上,只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛,比赛成绩达到以上(含)的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主,收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩,并整理得到如下数据(单位:m):

甲:9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25;

乙:9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23;

丙:9.85,9.65,9.20,9.16.

假设用频率估计概率,且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.

(I)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率;

(II)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数,估计X的数学期望EX;

(III)在校运动会铅球比赛中,甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大?(结论不要求证明)

19.(本小题15分)

已知椭圆的一个顶点为,焦距为.

(I)求椭圆E的方程;

(II)过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B,C,直线AB,AC分别与x轴交于点M,N,当时,求k的值.

20.(本小题15分)

已知函数.

(I)求曲线在点处的切线方程;

(II)设,讨论函数在上的单调性;

(III)证明:对任意的,有.

21.(本小题15分)

已知为有穷整数数列.给定正整数m,若对任意的,在Q中存在,使得,则称Q为连续可表数列.

(I)判断是否为连续可表数列?是否为连续可表数列?说明理由;

(II)若为连续可表数列,求证:k的最小值为4;

(III)若为连续可表数列,且,求证:.

2022年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)

数学参考答案

第一部分(选择题 共40分)

一、选择题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.

1. D 2. B 3. A 4. C 5. C 6. C 7. D 8. B 9. B 10. D

第二部分(非选择题 共110分)

二、填空题共5小题,每小题5分,共25分.

11.

12.

13. ①. 1 ②.

14. ①. 0(答案不唯一) ②. 1

15.①③④

三、解答题共6小愿,共85分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.

16.(1)

(2)

17.(1)取的中点为,连接,

由三棱柱可得四边形为平行四边形,

而,则,

而平面,平面,故平面,

而,则,同理可得平面,

而平面,

故平面平面,而平面,故平面,

(2)因为侧面为正方形,故,

而平面,平面平面,

平面平面,故平面,

因为,故平面,

因为平面,故,

若选①,则,而,,

故平面,而平面,故,

所以,而,,故平面,

故可建立如所示的空间直角坐标系,则,

故,

设平面的法向量为,

则,从而,取,则,

设直线与平面所成的角为,则

.

若选②,因,故平面,而平面,

故,而,故,

而,,故,

所以,故,

而,,故平面,

故可建立如所示的空间直角坐标系,则,

故,

设平面的法向量为,

则,从而,取,则,

设直线与平面所成的角为,则

.

18.(1)0.4 (2)

(3)丙

19.(1)

(2)

20.(1)

(2)在上单调递增.

(3)解:原不等式等价于,

令,,

即证,

∵,

由(2)知在上单调递增,

∴,

∴在上单调递增,又因为,

∴,所以命题得证.

21.(1)是连续可表数列;不是连续可表数列.

(2)若,设为,则至多,6个数字,没有个,矛盾;

当时,数列,满足,,,,,,,, .

(3),若最多有种,若,最多有种,所以最多有种,

若,则至多可表个数,矛盾,

从而若,则,至多可表个数,

而,所以其中有负的,从而可表1~20及那个负数(恰 21个),这表明中仅一个负的,没有0,且这个负的在中绝对值最小,同时中没有两数相同,设那个负数为 ,

则所有数之和,,

,再考虑排序,排序中不能有和相同,否则不足个,

(仅一种方式),

与2相邻,

若不在两端,则形式,

若,则(有2种结果相同,方式矛盾),

, 同理 ,故在一端,不妨为形式,

若,则 (有2种结果相同,矛盾),同理不行,

,则 (有2种结果相同,矛盾),从而,

由于,由表法唯一知3,4不相邻,、

故只能,①或,②

这2种情形,

对①:,矛盾,

对②:,也矛盾,综上

如何学好数学

其实学习数学是没有什么简单的方法的,都是经过脚踏实地一步步学习的,所以不要想着有什么捷径,我们只有清晰的认识到数学应该怎么学习,才能找到学习数学应该用什么方法。如果你真的打算好好的学习数学,除了在上课的时候,认真的听课以外,最主要的就是做题了,其实理科当中,不仅是数学需要多做题,其他的科目也是需要多做题的。

做题的时候,不能说这道题我们不会,就不做了,一定要好好的研究一下,然后让老师或者是同学给自己讲解一下,自己回来之后,多专研,然后把它写在自己的本子上,最好能有一个单独的本子,记录这些自己不会的题,在记录的时候,要解题的思路和步骤都写好,这样你再翻看的时候,如果还是不会,看到解题的思路和步骤,就会把这道题在心理理顺一遍,这样对自己做这道题有很大的帮助。

学习数学小窍门是什么

学习数学的时候,我们一定要知道学习数学的思维模式是什么,只有掌握了思维模式,看到数学题的时候,我们才能知道怎么去思考,一旦我们有了思路,做什么题都会简单一点,数学当中最重要的就是做题的时候有思路,如果你连思路都没有,这道数学题是不可能会做出来的,数学当中思路的重要性,不用小编说,同学们也都知道,所以在生活中,多多培养自己的这种能力,对于自己学理科很有帮助。

一些理科的思路其实都是有相同点的,所以只要你掌握了一种学习思路,无论是哪个科目你学习起来都会简单很多,数学中,有些题型虽然一样,但是一些同学即使做过相同的题型,还是不太会做,这种情况下,我们的成绩基本就很难提高了。

高中数学常用公式

乘法与因式分

a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)

三角不等式

|a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b

|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|

一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a -b-√(b2-4ac)/2a

根与系数的关系X1+X2=-b/a X1__X2=c/a 注:韦达定理

判别式

b2-4ac=0 注:方程有两个相等的实根

b2-4ac>0 注:方程有两个不等的实根

b2-4ac<0 注:方程没有实根,有共轭复数根

三角函数公式

两角和公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)

倍角公式

tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

半角公式

sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)

cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)

tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))

ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))

和差化积

2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)

2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)

sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB

ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB

某些数列前n项和

1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2

2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6

13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 1__2+2__3+3__4+4__5+5__6+6__7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注: 其中 R 表示三角形的外接圆半径

余弦定理b2=a2+c2-2accosB 注:角B是边a和边c的夹角

圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注:(a,b)是圆心坐标

圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注:D2+E2-4F>0

抛物线标准方程y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py

直棱柱侧面积S=c__h 斜棱柱侧面积 S=c'__h

正棱锥侧面积S=1/2c__h' 正棱台侧面积 S=1/2(c+c')h'

圆台侧面积S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi__r2

圆柱侧面积S=c__h=2pi__h 圆锥侧面积 S=1/2__c__l=pi__r__l

弧长公式l=a__r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式 s=1/2__l__r

锥体体积公式V=1/3__S__H 圆锥体体积公式 V=1/3__pi__r2h

斜棱柱体积V=S'L 注:其中,S'是直截面面积, L是侧棱长

柱体体积公式V=s__h 圆柱体 V=pi__r2h

数学五大常数

圆周率π≈3.141592653589793

不管圆有多大,它的周长与直径的比值总是一个固定的数。我们就把这个数叫做圆周率,用希腊字母π来表示。

π是数学中最基本、最重要、最神奇的常数之一,它常常出现在一些与几何毫无关系的场合中。例如,任意取出两个正整数,则它们互质(最大公约数为1)的概率为6/π^2。

自然底数

e≈2.718281828459

在17世纪末,瑞士数学家Bernoulli注意到了一个有趣的现象:当x越大时,(1+1/x)^x将会越接近某个固定的数。18世纪的大数学家Euler仔细研究了这个问题,并第一次用字母e来表示当x无穷大时(1+1/x)^的值。他不但求出了e≈2.718,还证明了e是一个无理数。

e的用途也十分广泛,很多公式里都有e的身影。在微积分中,无理数e更是大显神通,这使得它也成为了高等数学中最重要的无理数之一。

虚数单位i

在计算中常用到的是:i^2=-1,即虚数单位的平方为负一。在复数a+bi中,a称为复数的实部,b称为复数的虚部,i称为虚数单位。当虚部等于零时,这个复数就是实数;当虚部不等于零时,这个复数称为虚数,虚数的实部a如果等于零,且虚部b不等于零,则称为纯虚数。由上可知,复数集包含了实数集,因而是实数集的扩张。

数字0

0是-1与1之间的整数。0既不是正数,也不是负数;0不是质数。0是偶数。在数论中,0属于自然数,0没有倒数;在集合论和计算机科学中,0属于自然数。0在整数、实数和其他的代数结构中都有着单位元这个很重要的性质。

数字1

是0与2之间的自然数和正整数。唯一一个既不是质数,又不是合数的正整数。最小的正整数(因为“0”既不是正数也不是负数)。

第二个自然数。既不是质数(素数),也不是合数。任何数除以1都等于原数。任何数乘1都等于原数。任何数的一次方都等于原数。任何数的一次方根都等于原数。两个互质数的最大公因数是1。

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