三角函数辅助角公式 推导过程是什么

三角函数辅助角公式是什么

辅助角公式是一种高等三角函数公式，使用代数式表达为asinx+bcosx=√(a²+b²)sin[x+\arctan(b/a)]

（a>0）。虽然该公式已经被写入中学课本，但其几何意义却鲜为人知。

设要证明的公式为asinA+bcosA=√(a^2+b^2)sin(A+M) (tanM=b/a)

以下是证明过程：

设asinA+bcosA=xsin(A+M)

∴asinA+bcosA=x((a/x)sinA+(b/x)cosA)

由题,（a/x)^2+(b/x)^2=1,sinM=a/x,cosM=b/x

∴x=√(a^2+b^2)

∴asinA+bcosA=√(a^2+b^2)sin(A+M) ,tanM=sinM/cosM=b/a

三角函数辅助角公式推导过程

三角函数辅助角公式推导：

asinx+bcosx=√(a²+b²)[asinx/√(a²+b²)+bcosx/√(a²+b²)]

令a/√(a²+b²)=cosφ，b/√(a²+b²)=sinφ

asinx+bcosx=√(a²+b²)(sinxcosφ+cosxsinφ)=√(a²+b²)sin(x+φ)

其中，tanφ=sinφ/cosφ=b/a，φ的终边所在象限与点(a,b)所在象限相同.

简单例题：

（1）化简5sina-12cosa

5sina-12cosa

=13(5/13sina-12/13cosa)

=13(cosbsina-sinbcosa)

=13sin(a-b)

其中，cosb=5/13,sinb=12/13

（2）π/6<=a<=π/4 ,求sin²a+2sinacosa+3cos²a的最小值

令f(a)

=sin²a+2sinacosa+3cos²a

=1+sin2a+2cos²a

1+sin2a+(1+cos2a)(降次公式)

=2+(sin2a+cos2a)

=2+根号2sin(2a+π/4)(辅助角公式)

因为7π/12<=2a+π/4<=3π/4

所以f(a)min=f(3π/4)=2+(根号2)sin(3π/4)=3