等差数列求和公式推导方法

等差数列求和公式是怎么推导的

一。从通项公式可以看出，a(n)是n的一次函数(d≠0)或常数函数(d=0)，(n，an)排在一条直线上，由前n项和公式知，S(n)是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0，a1≠0)，且常数项为0。

二。从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：a(1)+a(n)=a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)=…

=a(k)+a(n-k+1)，(类似：p(1)+p(n)=p(2)+p(n-1)=p(3)+p(n-2)=。。。=p(k)+p(n-k+1))，k∈{1,2,…,n}

三。若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有a(m)+a(n)=a(p)+a(q)，S(2n-1)=(2n-1)*a(n)，S(2n+1)=

(2n+1)*a(n+1)，S(k)，S(2k)-S(k)，S(3k)-S(2k)，…，S(n)*k-S(n-1)*k…成等差数列，等等。

若m+n=2p,则a(m)+a(n)=2*a(p)

(对3的证明：p(m)+p(n)=b(0)+b(1)*m+b(0)+b(1)*n=2*b(0)+b(1)*(m+n)

p(p)+p(q)=b(0)+b(1)*p+b(0)+b(1)*q=2*b(0)+b(1)*(p+q);因为m+n=p+q，所以p(m)+p(n)=p(p)+p

(q))

其他推论

①和=(首项+末项)×项数÷2

(证明：s(n)=[n,n^2]*[1,1/2;0,1/2]*[b(0);b(1)]=n*b0+1/2*b1*n+1/2*b1*n^2

(p(1)+p(n))*n/2=(b(0)+b(1)+b(0)+b(1)*n)*n/2=n*b0+1/2*b1*n+1/2*b1*n^2=s(n))

证明原理见高斯算法

项数=(末项-首项)÷公差+1

(证明：(p(n)-p(1))/b(1)+1=(b(0)+b(1)*n-(b(0)+b(1)))/b(1)+1=(b(1)*(n-1))/b(1)+1=n-1+1=n)

②首项=2x和÷项数-末项或末项-公差×(项数-1)

③末项=2x和÷项数-首项

(以上2项为第一个推论的转换)

④末项=首项+(项数-1)×公差

(上一项为第二个推论的转换)

推论3证明

若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有a(m)+a(n)=a(p)

+a(q)

如a(m)+a(n)=a(1)+(m-1)*d+a(1)+(n-1)*d

=2*a(1)+(m+n-2)*d

同理得，

a(p)+a(q)=2*a(1)+(p+q-2)*d

又因为

m+n=p+q;

a(1),d均为常数

所以

若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有a(m)+a(n)=a(p)+a(q)

若m，n，p∈N*，且m+n=2p，则有a(m)+a(n)=2a(p)

注：1。常数列不一定成立

2。m,p,q,n属于自然数

⑤2(前2n项和-前n项和)=前n项和+前3n项和-前2n项和

等差数列求定义

等差数列是常见数列的一种，可以用AP表示，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。例如：1,3,5,7,9……（2n-1)。等差数列{an}的通项公式为：an=a1+(n-1)d。前n项和公式为：Sn=n*a1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2。注意： 以上n均属于正整数

等差数列求和方法

1、公式法

2、错位相减法

3、倒序相加法

4、分组法

5、裂项相消法

6、数学归纳法

7、通项化归法

先将通项公式进行化简，再进行求和。

如：求数列1，1+2，1+2+3，1+2+3+4,……的前n项和。此时先将an求出，再利用分组等方法求和。

8、并项求和法

（常采用先试探后求和的方法）

例：1－2+3－4+5－6+……+（2n-1）-2n

方法一：（并项）

求出奇数项和偶数项的和，再相减。

方法二：

（1－2）+（3－4）+（5－6）+……+[（2n-1）-2n]

方法三：

构造新的数列，可借用等差数列与等比数列的复合。

an=n(-1)^（n+1）

9、求和公式