高中数学反三角函数公式总结

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数学反三角函数公式

反三角函数的和差公式与对应的三角函数的和差公式没有关系

y=arcsin(x)，定义域[-1，1]，值域[-π/2,π/2]

y=arccos(x)，定义域[-1，1]，值域[0，π]

y=arctan(x)，定义域(-∞，+∞)，值域(-π/2，π/2)

y=arccot(x)，定义域(-∞，+∞)，值域(0，π)

sin(arcsinx)=x，定义域[-1，1]，值域[-1，1]arcsin(-x)=-arcsinx

证明方法如下：设arcsin(x)=y,则sin(y)=x，将这两个式子代入上式即可得

其他几个用类似方法可得

cos(arccosx)=x，arccos(-x)=π-arccosx

tan(arctanx)=x，arctan(-x)=-arctanx

反三角函数其他公式

cos(arcsinx)=√（1-x^2）

arcsin(-x)=-arcsinx

arccos(-x)=π-arccosx

arctan(-x)=-arctanx

arccot(-x)=π-arccotx

arcsinx+arccosx=π/2=arctanx+arccotx

sin(arcsinx)=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)=x

当x∈[-π/2，π/2]有arcsin(sinx)=x

x∈[0，π]，arccos(cosx)=x

x∈(-π/2，π/2)，arctan(tanx)=x

x∈(0，π)，arccot(cotx)=x

x>0，arctanx=π/2-arctan1/x，arccotx类似

若(arctanx+arctany)∈(-π/2，π/2)，则arctanx+arctany=arctan((x+y)/(1-xy))

数学反函数的相关知识

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1.反函数的定义

设函数y=f(x)的定义域是A，值域是C．我们从式子y=f(x)中解出x得到式子x=φ(y)．如果对于y在C中的任何一个值，通过式子x=φ(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么式子x=φ(y)叫函数y=f(x)的反函数，记作x=f-1(y)，习惯表示为y=f-1(x)．注意：函数y=f(x)的定义域和值域，分别是反函数y=f-1(x)的值域和定义域，

例如：f(x)的定义域是[-1，+∞]，值域是[0，+∞），它的反函数定义域为[0，+∞），值域是[-1，+∞)。

2．反函数存在的条件

按照函数定义，y=f(x)定义域中的每一个元素x，都唯一地对应着值域中的元素y，如果值域中的每一个元素y也有定义域中的唯一的一个元素x和它相对应，即定义域中的元素x和值域中的元素y，通过对应法则y=f(x)存在着一一对应关系，那么函数y=f(x)存在反函数，否则不存在反函数．例如：函数y=x2,x∈R，定义域中的元素±1，都对应着值域中的同一个元素1，所以，没有反函数．而y=x2,x≥1表示定义域到值域的一一对应，因而存在反函数．

3．函数与反函数图象间的关系

函数y=f(x)和它的反函数y=f-1(x)的图象关于y=x对称．若点(a,b)在y=f(x)的图象上，那么点(b,a)在它的反函数y=f-1(x)的图象上。

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4．反函数的几个简单命题

（1）一个奇函数y=f(x)如果存在反函数，那么它的反函数y=f-1(x)一定是奇函数。

（2）一个函数在某一区间是（减）函数，并且存在反函数，那么它的反函数在相应区间也是增（减）函数．