08高考数学复习：三角函数专题热点复习指导

　　天津市第四十二中学张鼎言

　　已知函数f(x)=--sin2x+sinxcosx

　　(Ⅰ)求f(-)的值；

　　(Ⅱ)设α∈(0，π)，f(-)=---，sinα的值。

　　解：(Ⅰ)化简f(x)，f(x)=-cos2x+-sin2x--

　　=sin(2x+-)--

　　f(-)=sin---=0

　　解：(Ⅱ)f(-)=sin(α+-)--

　　=---，

　　∴sin(α+-)=-

　　-sinα+-cosα=-

　　sinα+-cosα=-

　　-cosα=--sinα

　　两边平方整理关于sinα的二次方程：

　　16sin2α-4sinα-11=0

　　∵α∈(0，π)

　　∴sinα=-

　　注：在三角函数的求值、化简及研究三角函数的性质中，公式αsinα+bcosα=-sin(α+φ)，tanφ=-ba，起着重要的作用。

　　(二)三角函数的图象与性质

　　复习导引：这一部分是高考的重点内容。三角函数的研究内容与方法既具有一般函数性质，又有其特殊的性质，周期性突显出来，如第3、9题，从图象角度审视，轴对称、中心对称、成为拟题的载体，如第4、5、6、11题。

　　1.设函数f(x)=-cos2ωx+sinωxcosωx+α(其中ω>0，α∈R)，且f(x)的图象在y轴右侧的第一个高点的横坐标为-。

　　(Ⅰ)求ω的值；

　　(Ⅱ)如果f(x)在区间[--，-]上的最小值为-，求α的值。

　　解：(Ⅰ)f(x)=-cos2ωx+sinωx·cosωx+α

　　=--+-sin2ωx+α

　　=-sin2ωx+-cos2ωx+α+-

　　=sin(2ωx+-)+α+-

　　2ω·■+-=-，ω=-

　　(Ⅱ)f(x)=sin(x+-)+α+-

　　--≤x≤-

　　0≤x+-≤-

　　fmin(x)=f(-)=--+α+-=-

　　∴α=-+-

　　2.如图，函数y=2sin(πx+φ)，(x∈R)，(其中0≤φ≤-)的图象与y轴交于点(0，1)。

　　(Ⅰ)求φ的值；

　　(Ⅱ)设p是图象上的最高点，M、N是图象与x轴的交点，求-与-的夹角。

　　解：(Ⅰ)f(0)=2sinφ=1，sinφ=-

　　0≤φ≤-∴φ=-

　　(Ⅱ)f(x)=2sin(πx+-)

　　∵P为最高点

　　∴πx+-=-，x=-，Q(-，0)

　　f(x)周期T=-=2，-=1，|MN|=1，|NQ|=-，|PQ|=2，tanα=-

　　cos2α=-=-

　　∴-与-的夹角是arccos-

　　3.已知函数f(x)=Asin2(ωx+φ)，(A>0，ω>0，0<φ<-)，且y=f(x)的最大值为2，其图象相邻两对称轴的距离为2，并过点(1，2)。

　　(1)求φ；

　　(2)计算f(1)+f(2)+…+f(2008)。

　　解：(Ⅰ)f(x)=Asin2(ωx+φ)=---cos(2ωx+2φ)

　　fmax(x)=--(--)=2∴A=2

　　由已知，T=4=-，ω=-

　　f(x)=1-cos(-x+2φ)

　　f(1)=1-cos(-+2φ)=2

　　∴sin2φ=10<φ<-

　　∴φ=-

　　∴f(x)=sin(-x)+1

　　(Ⅱ)f(1)=sin-+1=2

　　f(2)=sinπ+1=1

　　f(3)=sin-+1=0

　　f(4)=sin2π+1=1

　　又f(n)是以4为周期的函数

　　-=502

　　∴f(1)+f(2)+…+f(2008)=502×4=2008

　　4.设函数f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0)，y=f(x)图象的一条对称轴是直线x=-。

　　(Ⅰ)求φ；

　　(Ⅱ)求函数y=f(x)的单调增区间；

　　(Ⅲ)证明直线5x-2y+c=0与函数y=f(x)的图象不相切。

　　解：(Ⅰ)∵x=-为f(x)对称轴，

　　∴sin(2×■+φ)=±1.

　　∴sin(-+φ)=±1，-π<φ<0

　　∴-+φ=--，φ=--

　　∴f(x)=sin(2x--)

　　解：(Ⅱ)f(x)的单调递增区间

　　2kπ--≤2x--≤2kπ+-，k∈Z

　　kπ+-≤x≤kπ+-，k∈Z

　　证明：(Ⅲ)5x-2y+c=0，斜率k=-

　　f(x)=sin(2x--)

　　k'=f'(x)=2cos(2x--)

　　|k'|≤2

　　∵k≠|k'|∴不能相切

　　注：本题阐述了三角函数图象轴对称求解析式的方法。