高中解析几何秒杀公式及解题套路

高考解析几何的统一解题套路

以高考解析几何为例

1、问题都是以平面上的点、直线、曲线如圆、椭圆、抛物线、双曲线这三大类几何元素为基础构成的图形的问题

2、演绎规则就是代数的演绎规则，或者说就是列方程、解方程的规则。当然，能用代数规则处理的问题必须是代数形式的，比如，平面上的点、直线、曲线构成的图形能用代数方法来处理，前提是构成这些图形的点、直线、曲线必须是代数形式的。

有了以上两点认识，我们可以毫不犹豫地下这么一个结论，那就是解决高考解析几何问题无外乎做两项工作

1、几何问题代数化。

2、用代数规则对代数化后的问题进行处理。

至此，我们可以发掘出一套规整的高考解析几何的统一解题套路

步骤1：把题目中的点、直线、曲线这三大类基础几何元素用代数形式表示出来（一化）

步骤2：把题目中的点与直线、曲线的从属关系用代数形式表示出来（二代）

说明：这里的“从属关系”指的是什么？实际上，在解析几何中，“点”是比直线、曲线更基础的几何元素——任何几何图形，包括直线和曲线，都被视为是由一个个的“点”构成的（用数学语言来表达：任何几何图形，包括直线和曲线，都是由点构成的集合）。但为了使我们的解题套路各步骤之间条例更分明。

我们把点、直线、曲线视为构成任何其它几何图形的基础。所以，这里的“从属关系”是点与直线、曲线的属于关系问题——如果某个点在某条直线或曲线上，那么这个点的坐标就可代入这条直线或曲线的方程。

步骤3：图形构成特点的代数化，或者说其它附加条件的代数化（三化）。

说明在解析几何中，会有一些关于图形构成特点的条件，如图形中某两条直线垂直，图形中某条直

线和某条曲线相切等等，我们把这些条件都归结在步骤3中来处理

步骤4：按答案的要求解方程组，把结果转化成答案要求的形式（四处理）。

说明：步骤1、2、3完成后，会得到一组方程，而答案就是这组方程组的解。

下面，我们把这四个步骤进行标准化。

高考解析几何解题套路各步骤操作规则

步骤一：（一化）

口诀：见点化点、见直线化直线、见曲线化曲线。

1、见点化点：“点”用平面坐标系上的坐标表示，只要是题目中提到的点都要加以坐标化；

2、见直线化直线：“直线”用二元一次方程表示，只要是题目中提到的直线都要加以方程化；

3、见曲线化曲线：“曲线（圆、椭圆、抛物线、双曲线）”用二元二次方程表示，只要是题目中提到的曲线都要加以方程化；

备注：大家在学习本教材的例题时，可翻阅教科书回顾这些内容，以加深印象，如直线有五种表示方

法——哪种情形对应哪种方法表示；圆、椭圆、抛物线、双曲线的方程怎么列。

步骤二：点与直线、曲线从属关系的代数化（二代）

口诀：点代入直线、点代入曲线。

1、点代入直线：如果某个点在某条直线上，将点的坐标代入这条直线的方程；

2、点代入曲线：如果某个点在某条曲线上，将点的坐标代入这条曲线的方程；

备注1：这样，每代入一次就会得到一个新的方程，这些方程都是获得最后答案的基础。

备注2：方程逐一列出后，最后就是解方程组的问题了。在方程组的求解中，我们发现一个特殊情况，即如果题目中有两个点在同一条曲线上，将它们的坐标代入曲线方程后不能直接算出常数结果，则采用下面这套等效规则来处理可以达到同样的处理效果，并让方程组的求解更简单。

等效规则的口诀，点代入这两个点共同所在的直线、直线代入曲线。

1、点代入这两个点共同所在的直线把这两个点共同所在直线用点斜式方程（如y=kx+d）表示出来，将这两个点的坐标分别代入这条直线的方程；

2、将这条直线的方程代入这条曲线的方程，获得一个一元二次方程；

3、把这个一元二次方程的根用韦达定理来表示（这里表示出来的实际上就是这两个点的坐标之间的相互关系式）；

4、把这个一元二次方程的二次项系数不等于零的条件列出来；

5、把这个一元二次方程的判别式∆>0列出来。

备注：事实上，这是前面一套规则在特定情况下的等效规则，如果用前面一套操作规则，我们会发现在其后续方程组的处理过程中会出现韦达定理的推导过程，而后面的等效规则直接用了韦达定理的结论，省略了韦达定理的推导过程，当然，它的好处也仅此而已。