三角函数图像与性质

‌三角函数是数学中常见的一类关于角度的函数，通常以角度为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时具有重要作用，同时也是研究周期性现象的基础数学工具。

三角函数图像和性质

三角函数是数学中的基本初等函数之一，具有独特的图像和性质。以下是对三角函数图像与性质的详细分析：

一、三角函数图像

正弦函数y=sinx

图像特征：正弦函数的图像是一个周期性的波形，它在每个周期内有一个波峰和一个波谷，波峰和波谷的纵坐标分别为1和-1。

对称性：正弦函数图像关于原点对称，也关于直线x=kπ+π/2(k∈Z)对称。

余弦函数y=cosx

图像特征：余弦函数的图像也是一个周期性的波形，与正弦函数图像相似，但相位不同。余弦函数在每个周期内也有一个波峰和一个波谷，但波峰和波谷的纵坐标分别为1和-1，且波峰出现在x=2kπ(k∈Z)处。

对称性：余弦函数图像关于y轴对称，也关于直线x=kπ(k∈Z)对称。

正切函数y=tanx

图像特征：正切函数的图像在每一个周期内，从每一个形如(kπ,0)(k∈Z)的点开始，并伸向无穷远。正切函数的图像在x=kπ+π/2(k∈Z)处有间断点，即不存在。

对称性：正切函数图像关于原点对称，但无其他对称轴。

二、三角函数性质

周期性

正弦函数和余弦函数的周期为2π，即它们的值在每隔2π的角度后重复出现。

正切函数的周期为π，即它的值在每隔π的角度后重复出现。

奇偶性

正弦函数是奇函数，即sin(-x)=-sinx。

余弦函数是偶函数，即cos(-x)=cosx。

正切函数也是奇函数，即tan(-x)=-tanx。

有界性

正弦函数和余弦函数的值域都是[-1,1]，即它们的值始终在这个范围内。

正切函数的值域是实数集R，没有上界和下界。

单调性

在特定的区间内，正弦函数和余弦函数可以是增函数或减函数。

正弦函数在[2kπ-π/2,2kπ+π/2](k∈Z)上是增函数，在[2kπ+π/2,2kπ+3π/2](k∈Z)上是减函数。

余弦函数在[2kπ-π,2kπ](k∈Z)上是增函数，在[2kπ,2kπ+π](k∈Z)上是减函数。

正切函数在其定义域内的某些区间内也是增函数或减函数。

正切函数在[kπ-π/2,kπ+π/2](k∈Z)上是增函数。

和差角公式

三角函数满足一些和差角公式，这些公式允许我们计算两个角的和或差的正弦、余弦和正切值。

倍角公式

三角函数也满足一些倍角公式，这些公式允许我们计算一个角的两倍的正弦、余弦和正切值。

三角恒等式

三角恒等式是一组恒真的等式，涉及正弦、余弦、正切等三角函数。这些恒等式在三角函数的计算和证明中非常有用。

单位圆上的定义

三角函数也可以定义为单位圆上的各种线段的长度，这为它们提供了几何解释。

三角函数知识点归纳总结

(1)α+2K兀(K∈Z)的诱导公式：

①cos(α+2K兀)=cosα

②sin(α+2K兀)=sinα

③tan(α+2K兀)=tanα

(2)-α的诱导公式：

①cos(-α)=cosα

②sin(-α)=-sinα

③tan(-α)=-tanα

证明：如图，若α的终边在第一象限，交单位圆于P点，作终边关于x轴的对称边，交单位圆O于P'，则P'(cos(-α)，sin(-α)）。

所以，cos(-α)=cosα，sin(-α)=-sinα，tan(-α)=-tanα。

同理可得，任意非x轴角的终边与其相反角的终边一定是关于x轴对称的。当α的终边在x轴上时，公式成立。所以，cos(-α)=cosα，sin(-α)=-sinα，tan(-α)=-tanα(α在y轴上时，此值不存在）。

(3)兀±α的诱导公式:

①cos(α+兀)=-cosα

②sin(α+兀)=-sinα

③tan(α+兀)=tanα

证明：若α的终边在第一象限，延长终边起点交单位圆于P'’，则P''(-cosα，-sinα)(经过圆心的直线即为直径，其为P关于圆心的对称点），而直线PP''的角度为平角，所以优弧AOP''的圆心角即为α+兀。

所以，cos(α+兀)=-cosα，sin(α+兀)=-sinα，tan(α+兀)=tanα

同理可得，任意角α的终边与角α+兀的终边一定是关于原点对称的。

所以，cos(α+兀)=-cosα，sin(α+兀)=-sinα，tan(α+兀)=tanα(α在y轴上时，此值不存在）。

④cos(兀-α)=-cosα

⑤sin(兀-α)=sinα

⑥tan(兀-α)=-tanα

证明：若α的终边在第一象限，延长角-α的终边交单位圆O于P'''， 因为OP'为角-α的终边，所以OP'''为角-α的终边，P'''(-cos(-α)，-sin(-α))=(-cosα，sinα)。

同理可得，任意非y轴角α的终边与角-α的终边一定是关于y轴对称的。当α的终边在y轴上时，tanα不存在。

所以，cos(兀-α)=-cosα，sin(兀-α)=sinα，tan(兀-α)=-tanα(α在y轴上时，此值不存在）