间断点的分类及判断方法

函数f(x)在第一类间断点的左右极限都存在，而函数f(x)在第二类间断点的左右极限至少有一个不存在，这也是第一类间断点和第二类间断点的本质上的区别。具体内容小编已经整理好了，一起来看看吧。

间断点的类型

在不连续函数中，函数值出现中断现象的点称为间断点。间断点的类型可分为以下几类：

第一类间断点

· 存在左右极限，且相等。称为可去间断点。

· 例如：函数 y = (x^2 - 1)/(x-1) 在点 x = 1 处。

第二类间断点

· 存在左右极限，但不相等。称为跳跃间断点。

· 例如：函数 y = |x|/x 在点 x = 0 处。

第三类间断点

· 至少一个极限不存在。称为无穷间断点。

· 例如：函数 y = tanx 在点 x = π/2 处。

第四类间断点

· 左右极限都存在，但当自变量趋近该点时，函数值在两个常数间变动无限多次。称为振荡间断点。

· 例如：函数 y = sin(1/x) 在点 x = 0 处。

判断间断点类型的步骤：

1. 确定该点处函数是否无定义。

2. 计算该点处的左右极限。

3. 根据左右极限的情况判断间断点类型。

注意：

· 第一、二类间断点合称为非无穷间断点。

· 第三、四类间断点合称为无穷间断点。

间断点的判断方法

函数f(x)在第一类间断点的左右极限都存在，而函数f(x)在第二类间断点的左右极限至少有一个不存在，这也是第一类间断点和第二类间断点的本质上的区别。

1、可去间断点：函数在该点左极限、右极限存在且相等，但不等于该点函数值或函数在该点无定义。如函数y=（x²-1)/(x-1)在点x=1处。

2、跳跃间断点：函数在该点左极限、右极限存在，但不相等。如函数y=|x|/x在点x=0处。

3、无穷间断点：函数在该点可以无定义，且左极限、右极限至少有一个不存在，且函数在该点极限为∞。如函数y=tanx在点x=π/2处。

4、振荡间断点：函数在该点可以无定义，当自变量趋于该点时，函数值在两个常数间变动无限多次。如函数y=sin(1/x)在x=0处。

5、可去间断点和跳跃间断点为第一类间断点，也叫有限型间断点。其它间断点为第二类间断点。

扩展资料

有间断点的函数

1、狄利克雷函数

在定义域R上每一点x为第二类间断点。

2、函数

仅在点x=0连续，x≠0时为第二类间断点。

3、整数部函数y=[x]，与小数部函数y=x-[x]，都是在x为整数时为第一类不可去间断点，在这些点仍是右连续的。

4、黎曼函数

在每一个无理点都连续，而在异与零的有理点都不连续。

5、函数

在点x=0附近函数振荡而无极限，x=0为它的第二类间断点。

6、函数

在点x=0为可去间断点，并且

7、函数

在点x=0为可去间断点。

8、函数

在点x=0为第二类间断点。