高三寒假数学复习：把做过的题拿来分解

　　天津一中 陈慧民

　　在寒假中各校会留些作业，同学们在做题的过程中，一旦理解题意后，应立即思考问题属于数学哪一章节中的问题，与这一章节的哪个类型的题目比较接近？解决这个类型的题目的方法有哪些？哪个方法可以首先拿来试用？如果把题目的来源搞清了，在题后加上几个批注，说明此题的“题眼”及巧妙之处，收益将更大。

　　看书：探寻高考命题影子

　　高考命题“源于教材，高于教材”，一定要抓住“课本”这个根本。建议同学们利用好寒假仔细梳理课本，重视教材中的基础知识和基本方法，然后加以引申、变化，做到举一反三。教科书上的例题不能看一下就过去了，因为看时往往觉得什么都懂，其实自己并没有理解透彻。所以，在看例题时，可以先把后面的解答内容盖住，自己去做，做完或做不出时再去看，这时要想一想，自己做的哪里与解答不同，哪里没想到，该注意什么，哪一种方法更好，还有没有另外的解法。经过上面的训练，自己的思维空间扩展了，看问题也全面了。

　　归纳：重归纳不搞“题海战”

　　进入高三以来作业多，训练量大。同学们若只局限于做完题，结果就是花费了大量时间、精力却得不到好效果。建议同学们学会放松式做题，即把做过的题目拿出来分解，分解题目中所包含的数学思想和方法，分解题中所包含的知识点，掌握经典题的解题步骤和思路，从中总结出解决一类数学问题的规律。着重研究解题的思维过程，弄清基本数学知识和基本数学思想在解题中的意义和作用，研究运用不同的思维方法解决同一数学问题的多条途径，在分析解决问题的过程中既构建知识的横向联系又养成多角度思考问题的习惯。

　　所以我认为，只要保证把做过的作业、随堂训练、大小考试的题目吃透，使前面自己出现过的错误不再重现，高考成功就有了保证。而这需要同学们积累错题，建立错题集，并及时翻阅复习。在这个过程中，要注意复习时不是随便翻翻看看答案就行了，而是对做过的好题、难题重新分析，揣摩知识点，再现解题过程，从中领悟出试题的命题特征及命题趋势。这些工作，如果前一段时间没有做，寒假一定要补上。建立错题集要做到：(1)记下错误是什么，最好用红笔画出。(2)错误原因是什么，从审题、题目归类、重现知识和找出答案四个环节来分析。(3)错误纠正方法及注意事项。根据错误原因的分析提出纠正方法并提醒自己下次碰到类似的情况应注意些什么。纵观数学错误，主要集中在三个方面，有的是分明会做，反而做错了的题；有的是记忆得不准确，理解得不够透彻，应用得不够自如，或者是回答不严密、不完整等等；还有的由于不会答错了或猜的，或者根本没有答，这是无思路、不理解，更谈不上应用的问题。已经有错题集的同学，假期中更要拿出来仔细研究。

　　强化：加强运算能力训练

　　纵观近几年高考试题，数学高考历来重视运算能力，80%以下的考分都要通过运算得到，有学生平时爱用计算器，做题不彻底，结果一上考场，本来凭较好的数学直觉和快速反应能力即可获解的题目，最后硬是算不出来。建议同学们在寒假中强化运算能力的训练。寒假前，各个学校都应该已经复习了数列和解析几何的内容，对于数列的综合问题、直线与椭圆、直线与双曲线的有关问题，涉及大量计算，同学们在假期中一定要独立、完整、准确地做几道此类题目，克服畏难情绪。

　　1.(08湖南)数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=(1+cos2-)an+sin2-，n=1，2，3，….

　　(Ⅰ)求a3，a4，并求数列{an}的通项公式；

　　(Ⅱ)设bn=-，Sn=b1+b2+…+bn.证明：当n ≥6时，|Sn-2|<-.

　　本题主要考查了简单的三角函数知识、数列中等差等比数列的基本知识及错位相减求和及数学归纳法等数列中常见的方法。考查了运算能力与综合解决问题的能力。

　　解 (Ⅰ)因为a1=1，a2=2，所以

　　a3=(1+cos2-)a1+sin2-=a1+1=2，

　　an=(1+cos2)a2+sin2=2a2=4.

　　一般地，当n=2k-1(k∈N*)时，a2k+1=[1+cos2-]a2k-1+sin2-=a2k-1+1，即a2k+1-a2k-1=1.

　　所以数列{a2k-1}是首项为1、公差为1的等差数列，因此a2k-1=k.

　　当n=2k(k∈N*)时，a2k+2=1+cos2-=2a2k.

　　所以数列{a2k}是首项为2、公比为2的等比数列，因此a2k=2k.

　　故数列{an}的通项公式为

　　(Ⅱ)由(Ⅰ)知，bn=-=-，

　　Sn=-+-+-+…+-①

　　-Sn=-+-+-+…+-②

　　①-②得，-Sn=-+-+-+…+---=---=1----

　　所以 Sn=2----=2--

　　要证明当n≥6时，|Sn-2|=-成立，只需证明当n≥6时，-<1成立。

　　(1)当n=6时，-=-=-<1成立.

　　(2)假设当n=k(k≥6)时不等式成立，即-<1.

　　则当n=k+1时， -=-×■<-<1.

　　由(1)、(2)所述，当n≥6时，-<1，即当n≥6时，|Sn-2|<-.

　　2.(08福建)如图、椭圆-+-=1(a>b>0)的一个焦点是F(1，0)，O为坐标原点。

　　(Ⅰ)已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；

　　(Ⅱ)设过点F的直线l交椭圆于A、B两点.若直线l绕点F任意转动，都有|OA|2+|OB|2<|AB|2,

　　求a的取值范围。

　　本题主要考查直线与椭圆的位置关系、不等式的解法等基本知识，考查分类与整合思想，考查运算能力和综合解题能力.

　　解法一：(Ⅰ)设M，N为短轴的两个三等分点，

　　因为△MNF为正三角形，所以|OF|=-|MN|,

　　即1＝-·■，解得b=-

　　a2=b2+1=4，因此，椭圆方程为-+-=1.

　　(Ⅱ)设A(x1，y1)，B(x2，y2).

　　(ⅰ)当直线 AB与x轴重合时，

　　|OA|2+|OB|2=2a2，|AB|2=4a2(a2>1)，因此，恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2

　　(ⅱ)当直线AB不与x轴重合时，

　　设直线AB的方程为：x=my+1，代入-+-=1，

　　整理得(a2+b2m2)y2+2b2my+b2-a2b2=0，

　　所以y1+y2=-，y1y2=-

　　因为恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2，所以∠AOB恒为钝角。

　　即OA·OB=(x1，y1)·（x2，y2)=x1x2+y1y2<0恒成立。

　　x1x2+y1y2=(my1+1)(my2+1)+y1y2=(m2+1)y1y2+m(y1+y2)+1=---+1=-<0

　　又a2+b2m2>0，所以-m2a2b2+b2-a2b2+a2<0对m∈R恒成立，即a2b2m2>a2-a2b2+b2对m∈R恒成立。

　　当m∈R时，a2b2m2最小值为0，所以a2-a2b2+b2<0.

　　a2

　　因为a>0,b>0,所以a0,

　　解得a>-或a<-(舍去)，即a>-,

　　综合(i)(ii)，a的取值范围为(-，+∞).