高中数学必修一经典例题分析——指数函数

高中数学必修一经典例题分析——指数函数

对于即将升入高中的同学来说，高中数学是一个让人比较头疼的科目，下面是小编为大家整理的高中数学指数函数经典例题及解析，希望能对大家有所帮助。

高中数学指数函数例题分析

【例1】求下列函数的定义域与值域：

解 (1)定义域为x∈R且x=?2.值域y>0且y=?1.

(2)由2x+2-1≥0，得定义域{x|x≥-2}，值域为y≥0.

(3)由3-3x-1≥0，得定义域是{x|x≤2}，∵0≤3-3x-1<3，

【例2】指数函数y=ax，y=bx，y=cx，y=dx的图像如图2.6-2所示，则a、b、c、d、1之间的大小关系是

[ ]

A.a

B.a

C. b

D.c

解 选(c)，在x轴上任取一点(x，0)，则得b

【例3】比较大小：

(3)4.54.1________3.73.6

解 (3)借助数4.53.6打桥，利用指数函数的单调性，4.54.1>4.53.6，作函数y1=4.5x，y2=3.7x的图像如图2.6-3，取x=3.6，得4.53.6>3.73.6

∴ 4.54.1>3.73.6.

说明 如何比较两个幂的大小：若不同底先化为同底的幂，再利用指数函数的单调性进行比较，如例2中的(1).若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时，有两个技巧，其一借助1作桥梁，如例2中的(2).其二构造一个新的幂作桥梁，这个新的幂具有与4.54.1同底与3.73.6同指数的特点，即为4.53.6(或3.74.1)，如例2中的(3).

高中数学指数函数例题分析

【例4】求下列函数的增区间与减区间

(1)y=|x2+2x-3|

解 (1)令f(x)=x2+2x-3=(x+1)2-4.

先作出f(x)的图像，保留其在x轴及x轴上方部分，把它在x轴下方的图像翻到x轴就得到y=|x2+2x-3|的图像，如图2.3-1所示.

由图像易得：

递增区间是[-3，-1]，[1，+∞)

递减区间是(-∞，-3]，[-1，1]

(2)分析：先去掉绝对值号，把函数式化简后再考虑求单调区间.

解 当x-1≥0且x-1=?1时，得x≥1且x=?2，则函数y=-x.

当x-1<0且x-1=?-1时，得x<1且x=?0时，则函数y=x-2.

∴增区间是(-∞，0)和(0，1)

减区间是[1，2)和(2，+∞)

(3)解：由-x2-2x+3≥0，得-3≤x≤1.

令u==g(x)=-x2-2x+3=-(x+1)2+4.在x∈[-3，-1]上是在x∈[-1，1]上是.

∴函数y的增区间是[-3，-1]，减区间是[-1，1].

【例5】函数f(x)=ax2-(3a-1)x+a2在[-1，+∞]上是增函数，求实数a的取值范围.

解 当a=0时，f(x)=x在区间[1，+∞)上是增函数.

若a<0时，无解.

∴a的取值范围是0≤a≤1.

高中数学指数函数例题分析

【例6】已知二次函数y=f(x)(x∈R)的图像是一条开口向下且对称轴为x=3的抛物线，试比较大小：

(1)f(6)与f(4)

解 (1)∵y=f(x)的图像开口向下，且对称轴是x=3，∴x≥3时，f(x)为减函数，又6>4>3，∴f(6)

时为减函数.

解 任取两个值x1、x2∈(-1，1)，且x1

当a>0时，f(x)在(-1，1)上是减函数.

当a<0时，f(x)在(-1，1)上是增函数.

【例5】利用函数单调性定义证明函数f(x)=-x3+1在(-∞，+∞)上是减函数.

证 取任意两个值x1，x2∈(-∞，+∞)且x1

又∵x1-x2<0，∴f(x2)

故f(x)在(-∞，+∞)上是减函数.

得f(x)在(-∞，+∞)上是减函数.

解 定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，任取定义域内两个值x1、x2，且x1

∴当0

0，f(x1)>f(x2)

∴f(x)在(0，1]，[-1，0)上为减函数.

当1≤x1

0，x1x2>0，f(x1)>f(x2)，∴f(x)在(-∞，-1]，[1，+∞)上为增函数.

根据上面讨论的单调区间的结果，又x>0时，f(x)min=f(1)=2，当x<0时，f(x)max=f(-1)=-2.由上述的单调区间及最值可大致

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