等比数列求和公式

等比数列求和公式

q≠1时 Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-anq)/(1-q)

q=1时Sn=na1

(a1为首项,an为第n项,d为公差,q 为等比)

这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)，等比数列a1≠ 0。注：q=1 时，{an}为常数列。利用等比数列求和公式可以快速的计算出该数列的和。

等比数列求和公式推导

由等比数列定义

a2=a1__q

a3=a2__q

a(n-1)=a(n-2)__q

an=a(n-1)__q 共n-1个等式两边分别相加得

a2+a3+...+an=[a1+a2+...+a(n-1)]__q

即Sn-a1=(Sn-an)__q,即(1-q)Sn=a1-an__q

当q≠1时,Sn=(a1-an__q)/(1-q)(n≥2)

当n=1时也成立.

当q=1时Sn=n__a1

所以Sn=n__a1(q=1);(a1-an__q)/(1-q)(q≠1)。

错位相减法

Sn=a1+a2+a3+...+an

Sn__q=a1__q+a2__q+...+a(n-1)__q+an__q=a2+a3+...+an+an__q

以上两式相减得(1-q)__Sn=a1-an__q

数学归纳法

证明：(1)当n=1时，左边=a1，右边=a1·q0=a1，等式成立;

(2)假设当n=k(k≥1，k∈N__)时，等式成立，即ak=a1qk-1;

当n=k+1时，ak+1=ak·q=a1qk=a1·q(k+1)-1;

这就是说，当n=k+1时，等式也成立;

由(1)(2)可以判断，等式对一切n∈N__都成立。

等比数列的性质

①在等比数列{an}{an}中，若m+n=p+q=2k(m，n，p，q，k∈N?)m+n=p+q=2k(m，n，p，q，k∈N?)，则am?an=ap?aq=a2kam?an=ap?aq=ak2。

②若数列{an}{an}，{bn}{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0){λan}(λ≠0)，{1an}{1an}，{a2n}{an2}，{an?bn}{an?bn}，{anbn}{anbn}仍然是等比数列;

③在等比数列{an}{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an+k，an+2k，an+3k，?an，an+k，an+2k，an+3k，?为等比数列，公比为qkqk;

④q≠1q≠1的等比数列的前2n2n项，S偶=a2?[1?(q2)n]1?q2S偶=a2?[1?(q2)n]1?q2，S奇=a1?[1?(q2)n]1?q2S奇=a1?[1?(q2)n]1?q2，则S偶S奇=qS偶S奇=q;

⑤等比数列的单调性，取决于两个参数a1a1和qq的取值，an=a1?qn?1an=a1?qn?1;

等比数列中求公比q的公式

1、等比数列中的等比中项公式，

已知前项a，后项b，中项G，则q=G/a=b/G;

2、等比数列通项公式，

an=a1q^(n-1)，已知，a1，an和n，

则q^(n-1)= an/a1，

∴q=(an/a1)^[1/(n-1);

3、等比数列前n项和公式，

(1)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)，q≠1，已知Sn，a1和n，

则(1-q^n)/(1-q)=Sn/a1，搜索

用尝试—逐步逼近法解这个高次方程，求得q的值。

(2))Sn=a1(1-anq)/(1-q)，已知Sn，a1和anq

(1-q)=a1(1-anq)/Sn

∴q=1-a1(1-anq)/Sn。

等比数列求通项方法

(1)待定系数法：已知an+1=2an+3，a1=1，求an?

构造等比数列an+1+x=2(an+x)

an+1=2an+x，∵an+1=2an+3 ∴x=3

∴(an+1+3)/ an+3=2

∴{an+3}为首项为4，公比为2的等比数列，所以an+3=a1×qn-1=4×2n-1,an=2n+1-3

(2)定义法：已知Sn=a·2n+b，求an的通项公式?

∵Sn=a·2n+b∴Sn-1=a·2n-1+b

∴an=Sn-Sn-1=a·2n-1。