点到直线的距离公式是什么

点到直线的距离公式

直线Ax+By+C=0 坐标(Xo，Yo)那么这点到这直线的距离就为：

d=│AXo+BYo+C│/√(A?+B?)

公式描述：

公式中的直线方程为Ax+By+C=0，点P的坐标为(x0，y0)。

连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，这条垂线段的长度，叫做点到直线的距离。

求空间点到直线距离

点M(1，2，3)到直线{x+y-z=1，2x+z=3｝的距离是____?

由两平面可得z=3-2x，y=4-3x。因此直线方程为：x/(-1)=(y-4)/3=(z-3)/2，

直线的方向向量为(-1,3,2) 。可设直线上一点N(-t,3t+4,2t+3)，MN向量为(-t-1,3t+2,2t)

若MN垂直于直线，则(-1,3,2)_(-t-1,3t+2,2t)=0。可解得t=-1/2

MN的模长sqr(6)/2即为所求。

点到直线距离公式的证明法

定义法证：根据定义，点P(x?,y?)到直线l：Ax+By+C=0的距离是点P到直线l的垂线段的长，设点P到直线的垂线为l'，垂足为Q，则l'的斜率为B/A则l'的解析式为y-y?=(B/A)(x-x?)把l和l'联立得l与l'的交点Q的坐标为((B^2x?-ABy?-AC)/(A^2+B^2), (A^2y?-ABx?-BC)/(A^2+B^2))由两点间距离公式得：

PQ^2=[(B^2x?-ABy?-AC)/(A^2+B^2)-x0]^2

+[(A^2y?-ABx?-BC)/(A^2+B^2)-y0]^2

=[(-A^2x?-ABy?-AC)/(A^2+B^2)]^2

+[(-ABx?-B^2y?-BC)/(A^2+B^2)]^2

=[A(-By?-C-Ax?)/(A^2+B^2)]^2

+[B(-Ax?-C-By?)/(A^2+B^2)]^2

=A^2(Ax?+By?+C)^2/(A^2+B^2)^2

+B^2(Ax?+By?+C)^2/(A^2+B^2)^2

=(A^2+B^2)(Ax?+By?+C)^2/(A^2+B^2)^2

=(Ax?+By?+C)^2/(A^2+B^2)

所以PQ=|Ax?+By?+C|/√(A^2+B^2)，公式得证。