高二数学知识点笔记整理

高二数学知识点笔记整理

一、平面的基本性质与推论

1、平面的基本性质：

公理1如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内;

公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面;

公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

2、空间点、直线、平面之间的位置关系：

直线与直线—平行、相交、异面;

直线与平面—平行、相交、直线属于该平面(线在面内，最易忽视);

平面与平面—平行、相交。

3、异面直线：

平面外一点A与平面一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线(判定);

所成的角范围(0，90)度(平移法，作平行线相交得到夹角或其补角);

两条直线不是异面直线，则两条直线平行或相交(反证);

异面直线不同在任何一个平面内。

求异面直线所成的角：平移法，把异面问题转化为相交直线的夹角

二、空间中的平行关系

1、直线与平面平行(核心)

定义：直线和平面没有公共点

判定：不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面(由线线平行得出)

性质：一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，则这条直线就和两平面的交线平行

2、平面与平面平行

定义：两个平面没有公共点

判定：一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，则这两个平面平行

性质：两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面;如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。

3、常利用三角形中位线、平行四边形对边、已知直线作一平面找其交线

三、空间中的垂直关系

1、直线与平面垂直

定义：直线与平面内任意一条直线都垂直

判定：如果一条直线与一个平面内的两条相交的直线都垂直，则该直线与此平面垂直

性质：垂直于同一直线的两平面平行

推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面

直线和平面所成的角：【0，90】度，平面内的一条斜线和它在平面内的射影说成的锐角，特别规定垂直90度，在平面内或者平行0度

2、平面与平面垂直

定义：两个平面所成的`二面角(从一条直线出发的两个半平面所组成的图形)是直二面角(二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线所成的角)

判定：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直

性质：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直

高二数学知识点归纳

一集合

1、集合的含义：集合为一些确定的、不同的对象的全体。2、集合的中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性。3、集合的表示：

(1)用大写字母表示集合：A,B…(2)集合的表示方法：

a、列举法：将集合中的元素一一列举出来{a,b,c}b、描述法：集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合，xRx23c、维恩图：用一条封闭曲线的内部表示.

4、集合的分类：

(1)有限集：含有有限个元素的集合(2)无限集：含有无限个元素的集合(3)空集：不含任何元素的集合5、元素与集合的关系：aA;aA注意：常用数集及其记法：

非负整数集：(即自然数集)N正整数集:Nx或N+整数集:Z有理数集:Q实数集:R

6、集合间的基本关系(1)“包含”关系子集

定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含

关系，称集合A是集合B的子集。记作：AB(或BA)

注意：AB有两种可能(1)A是B的一部分;

(2)A与B是同一集合。

B或BA反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A(2)“包含”关系真子集

如果集合AB，但存在元素xB且xA，则集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)

(3“相等”关系：A=B“元素相同则两集合相等”，如果AB同时BA那么A=B

规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。(4)集合的性质

①任何一个集合是它本身的子集，AA②如果AB,BC,那么AC③如果AB且BC，那么AC

④有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集

7、集合的运算

运算类型交集并集定义由所有属于A且属于B由所有属于集合A或属的元素所组成的集合,于集合B的元素所组成叫做A,B的交集.记作的集合，叫做A,B的并AB(读作‘A交B’)集.记作：AB(读作‘A并B’)补集全集：一般，若一个集合含有我们所研究问题中的所有元素，我们就称这个集合为全集，记作：U设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集(或余集)记作CSA，韦恩图示ABABSA图1图2CU(CUA)A性质A∩A=AA∩Φ=ΦA∩B=BAAUA=AAUΦ=AAUB=BUAAU(CuA)=UA∩(CuA)=Φ.A∩BAA∩AUBABBAUBB二函数1.函数的概念：记法y=f(x)，x∈A.

2.函数的三要素：定义域、值域、对应法则

3.函数的表示方法：(1)解析法：(2)图象法：(3)列表法：4.函数的基本性质

a、函数解析式子的求法

(1)代入法：(2)待定系数法：(3)换元法：(4)拼凑法：

b、定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。(1)分式的分母不等于零;

(2)偶次方根的被开方数大于等于零;

(3)对数式的真数必须大于零;(4)零次幂式的底数不等于零;(5)分段函数的各段范围取并集;

(6)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合;

(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.c、相同函数的判断方法;定义域一致②对应法则一致

d.区间的概念：

e.值域(先考虑其定义域)5.分段函数6.映射的概念

对于映射f：A→B来说，则应满足：

(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的;(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个;(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。注意：函数是特殊的映射。7、函数的单调性(局部性质)(1)增减函数定义(2)图象的特点

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的

(3)函数单调区间与单调性的判定方法(A)定义法：○1取值;○2作差;○3变形;○4定号;○5结论.(B)图象法(从图象上看升降)

(C)复合函数的单调性：“同增异减”

注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.

8、函数的奇偶性(整体性质)(1)奇、偶函数定义

(2)具有奇偶性的函数的'图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.(3)利用定义判断函数奇偶性的步骤：

a、首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称;若是不对称，则是非奇非偶的函数;若对称，则进行下面判断;b、确定f(-x)与f(x)的关系;

c、作出相应结论：若f(-x)=f(x)，则f(x)是偶函数;

若f(-x)=-f(x)，则f(x)是奇函数.

注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.(4)函数的奇偶性与单调性

奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性。(5)若已知是奇、偶函数可以直接用特值9、基本初等函数

一、一次函数

二、二次函数：二次函数的图象与性质，注意：二次函数值域求法三、指数函数(一)指数

1、有理指数幂的运算法则2、根式的概念3、分数指数幂

正数的分数指数幂的

anam(a0,m,nNx,n1)，amnmn1amn1nam(a0,m,nNx,n1)

(二)指数函数的性质及其特点

1、指数函数的概念：一般地，函数yax(a0,且a1)叫做指数函数，其中x是自变量，

函数的定义域为R.

2、指数函数的图象和性质a>16540

注意：换底公式

logablogcb(a0，且a1;c0，且c1;b0).logca1nlogab;(2)logabmlogba利用换底公式推导下面的结论(1)logambn.

(三)对数函数

1、对数函数的概念：函数ylogax(a0，且a1)叫做对数函数，其中x是自变量，

函数的定义域是(0，+∞).

2、对数函数的性质：a>10

高二数学知识点常识

1.万能公式令tan(a/2)=tsina=2t/(1+t^2)cosa=(1-t^2)/(1+t^2)tana=2t/(1-t^2)

2.辅助角公式asint+bcost=(a^2+b^2)^(1/2)sin(t+r)cosr=a/[(a^2+b^2)^(1/2)]sinr=b/[(a^2+b^2)^(1/2)]tanr=b/a

3.三倍角公式sin(3a)=3sina-4(sina)^3cos(3a)=4(cosa)^3-3cosatan(3a)=[3tana-(tana)^3]/[1-3(tana^2)]sina_cosb=[sin(a+b)+sin(a-b)]/2cosa_sinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]/2cosa_cosb=[cos(a+b)+cos(a-b)]/2sina_sinb=-[cos(a+b)-cos(a-b)]/2sina+sinb=2sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]sina-sinb=2sin[(a-b)/2]cos[(a+b)/2]cosa+cosb=2cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]cosa-cosb=-2sin[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]

向量公式：

1.单位向量：单位向量a0=向量a/|向量a|

2.P(x,y)那么向量OP=x向量i+y向量j|向量OP|=根号(x平方+y平方)

3.P1(x1,y1)P2(x2,y2)那么向量P1P2={x2-x1,y2-y1｝|向量P1P2|=根号[(x2-x1)平方+(y2-y1)平方]

4.向量a={x1,x2｝向量b={x2,y2｝向量a_向量b=|向量a|_|向量b|_Cosα=x1x2+y1y2Cosα=向量a_向量b/|向量a|_|向量b|(x1x2+y1y2)根号(x1平方+y1平方)_根号(x2平方+y2平方)

5.空间向量：同上推论(提示：向量a={x,y,z｝)

6.充要条件：如果向量a向量b那么向量a_向量b=0如果向量a//向量b那么向量a_向量b=|向量a|_|向量b|或者x1/x2=y1/y2

7.|向量a向量b|平方=|向量a|平方+|向量b|平方2向量a_向量b=(向量a向量b)平方

高二数学必背知识点

4.1.1圆的标准方程

1、圆的标准方程：(xa)2(yb)2r2

圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程

2、点M(x0,y0)与圆(xa)(1)(x0(3)(x02(yb)2r2的关系的判断方法：

a)2(y0b)2>r2，点在圆外(2)(x0a)2(y0b)2=r2，点在圆上a)2(y0b)2归海木心QQ:634102564

(4)当l|r1r2|时，圆C1与圆C2内切;(5)当l|r1r2|时，圆C1与圆C2内含;

4.2.3直线与圆的方程的应用

1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系;2、过程与方法

用坐标法解决几何问题的`步骤：

第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题;第二步：通过代数运算，解决代数问题;第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论.

RM4.3.1空间直角坐标系

1、点M对应着唯一确定的有序实数组(x,y,z)，x、上的坐标

2、有序实数组(x,y,z)，对应着空间直角坐标系中的一点

y、z分别是P、Q、R在x、y、z轴

xOPQM"y3、空间中任意点M的坐标都可以用有序实数组(x,y,z)来表示，该数组叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记M(x,y,z)，x叫做点M的横坐标，坐标。y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖

z4.3.2空间两点间的距离公式1、空间中任意一点P1(x1,y1,z1)到点P2(x2,y2,z2)之间的距离公式P1P2P1P2(x1x2)(y1y2)(z1z2)222N1xOM1MM2HN2yN

高二数学复习知识点

第一讲相似三角形的判定及有关性质1.平行线等分线段定理

平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。

推理1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。推理2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。

2.平分线分线段成比例定理

平分线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例。

3.相似三角形的判定及性质

相似三角形的判定：

定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似三角形对应边的比值叫做相似比(或相似系数)。

由于从定义出发判断两个三角形是否相似，需考虑6个元素，即三组对应角是否分别相等，三组对应边是否分别成比例，显然比较麻烦。所以我们曾经给出过如下几个判定两个三角形相似的简单方法：

(1)两角对应相等，两三角形相似;

(2)两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似;(3)三边对应成比例，两三角形相似。

预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与三角形相似。

判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。简述为：两角对应相等，两三角形相似。

判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。简述为：三边对应成比例，两三角形相似。

引理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。定理：(1)如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似;

(2)如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似。

定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。相似三角形的性质：

(1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应平分线的比都等于相似比;(2)相似三角形周长的比等于相似比;

(3)相似三角形面积的比等于相似比的平方。

相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方。

4.直角三角形的射影定理

射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项;两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项。

第二讲直线与圆的位置关系1.圆周定理

圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆周角的一半。圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数。

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径。

2.圆内接四边形的性质与判定定理

定理1：圆的内接四边形的对角互补。

定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。

圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。

3.圆的切线的性质及判定定理

切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

切线的'判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

4.弦切角的性质

弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。

5.与圆有关的比例线段

相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

割线定理：从园外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

6.垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

7.三角形的五心

(1)内心：三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。性质：到三边距离相等。(2)外心：三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。性质：到三个顶点距离相等。(3)重心：三条中线的交点。性质：三条中线的三等分点，到顶点距离为到对边中点距离的2倍。

(4)垂心：三条高所在直线的交点。

(5)旁心：三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点。性质：到三边的

距离相等

第三讲圆锥曲线性质的探究1.平面与圆柱面的截线：

当平面与圆柱的两底面平行时，截面是个圆;当平面与圆柱的两底面不平行时，截面是个椭

圆;定理1：圆柱形物体的斜截口是椭圆。

定理2：在空间中，取直线l为轴，直线l’与l相交于O点，夹角为α，l’围绕l旋转得

到以O为顶点，l’为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴l的夹角为β(当π与l平行时，记β=0)，则截面不过顶点时：

(1)β>α，平面π与圆锥的交线为椭圆;(2)β=α，平面π与圆锥的交线为抛物线;(3)

β<α，平面π与圆锥的交线为双曲线;截面过顶点时：(1)截面和圆锥面只相交于顶点，交线为一个点。