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y=2^x/2^x+1的反函数

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y=2^x/2^x+1的反函数为y=log2[x/(1-x)],(0<x<1)。一般来说,设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C,若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x,这样的函数x=g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数,记作y=f-1(x)。

证明过程

y=2ˣ/(2ˣ+1)=1-1/(2ˣ+1)

2ˣ>0,2ˣ+1>0,0<1/(2ˣ+1)<1,0<1-1/(2ˣ+1)<1

0<y<1

2ˣ=y/(1-y)

x=log2[y/(1-y)]

将x、y互换,得函数的反函数为y=log2[x/(1-x)],(0<x<1)

反函数

一般来说,设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C,若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x,这样的函数x=g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数,记作y=f-1(x)。反函数y=f-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。最具有代表性的反函数就是对数函数与指数函数。

一般地,如果x与y关于某种对应关系f(x)相对应,y=f(x),则y=f(x)的反函数为x=f(y)或者y=f-1(x)。存在反函数(默认为单值函数)的条件是原函数必须是一一对应的(不一定是整个数域内的)。注意:上标"−1"指的是函数幂,但不是指数幂。