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值域和定义域的区别

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值域和定义域的区别:定义域是函数的自变量的取值范围,值域是函数值的取值范围。

求函数定义域

1、函数定义域是函数自变量的取值的集合,一般要求用集合或区间来表示;

2、常见题型是由解析式求定义域,此时要认清自变量,其次要考查自变量所在位置,位置决定了自变量的范围,最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题;

3、对复合函数y=f[g(x)]的定义域的求解,应先由y=f(u)求出u的范围,即g(x)的范围,再从中解出x的范围I1;再由g(x)求出y=g(x)的定义域I2,I1和I2的交集即为复合函数的定义域;

4、分段函数的定义域是各个区间的并集;

5、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论,若参数在不同的范围内定义域不一样,则在叙述结论时分别说明;

6、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论,但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集,作为该函数的定义域。

求函数的值域

1.观察法

用于简单的解析式。

y=1-√x≤1,值域(-∞,1]

y=(1+x)/(1-x)=2/(1-x)-1≠-1,值域(-∞,-1)∪(-1,+∞).

2.配方法

多用于二次(型)函数。

y=x^2-4x+3=(x-2)^2-1≥-1,值域[-1,+∞)

y=e^2x-4e^x-3=(e^x-2)^2-7≥-7,值域[-7,+∞)

3.换元法

多用于复合型函数。

通过换元,使高次函数低次化,分式函数整式化,无理函数有理化,超越函数代数以方便求值域。特别注意中间变量(新量)的变化范围。

4.不等式法

用不等式的基本性质,也是求值域的常用方法。

5.最值法

如果函数f(x)存在最大值M和最小值m,那么值域为[m,M]。

因此,求值域的方法与求最值的方法是相通的。

6.反函数法(又叫反解法)

函数和它的反函数的定义域与值域互换。

如果一个函数的值域不易求,而它的反函数的定义域易求,那么我们可以通过求后者得出前者。

7.单调性法

若f(x)在定义域[a,b]上是增函数,则值域为[f(a),f(b)];若是减函数,则值域为[f(b),f(a)]。

y=x^2-4x+3,(-1≤x≤1).

y=(x-2)^2-1在[-1,1]上是减函数(单调递减),

F(-1)=8,f(1)=0,值域[0,8].

8.斜率法,数形结合。

9.导数法

导数为零的点称为驻点,设f'(x0)=0,

若当x<x0时f'(x)<0,当x>x0时f'(x)>0,则f(x0)为极小值;

若当x<x0时f'(x)>0,当x>x0时f'(x)<0,则f(x0)为极大值;

再根据定义域求得边界值,与之比较得出最大、最小值(与最值法相通),得出值域。

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