高三网 > 高考 > 高考备考 > 共线向量为什么系数和为1

共线向量为什么系数和为1

高老师 分享 时间:

若A、B、C三点共线,O为线外一点,则OB=aOA+bOC (OA、OB、OC为向量)中,a+b=1。若A、B、C、D三点共面,O为面外一点,则OB=aOA+bOC+cOD (OA、OB、OC为向量),a+b+c=1。

设A、B、C三点共线,O是平面内任一点。

因为A、B、C共线,所以存在非零实数k,使AB=kAC

即OB-OA=k(OC-OA)

所以OB=kOC+(1-k)OA

[注:两个系数和k+1-k=1]

反之,若存在实数x,y满足x+y=1,且OA=xOB+yOC

则OA=xOB+(1-x)OC

OA-OC=x(OB-OC)

所以CA=xCB

因此,向量CA与CB共线,

又由于CA、CB有公共点C,

所以,A、B、C三点共线。