直线与圆锥曲线的位置关系

一、直线与圆锥曲线的位置关系

1、判断直线$l$与圆锥曲线$C$的位置关系时，通常将直线$l$的方程（$A$，$B$不同时为0）代入圆锥曲线$C$的方程$F(x,y)=0$，消去$y$（也可以消去$x$）得到一个关于变量$x$（或$y$）的一元方程。即$\begin{cases}Ax+By+C=0,\\F(x,y)=0,\end{cases}$消去$y$，得$ax^2+bx+c=0$。

设一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的判别式为$\mathit{Δ}$，

则$\mathit{Δ}>0\Leftrightarrow$直线与圆锥曲线相交；

$\mathit{Δ}=0\Leftrightarrow$直线与圆锥曲线相切；

$\mathit{Δ}<0\Leftrightarrow$直线与圆锥曲线相离。

2、直线与圆锥曲线相交弦的有关问题

（1）弦长公式：设斜率为$k(k≠0)$的直线$l$与圆锥曲线$C$相交于$A$，$B$两点，$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，则$\begin{aligned}|AB|&=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|\&=\sqrt{1+k^2}·\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}\&=\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}·|y_1-y_2|\&=\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}·\sqrt{(y_1+y_2)^2-4y_1y_2}\end{aligned}$

（2）中点弦问题的考查类型

①已知一定点$P$在圆锥曲线内，求过$P$点且以$P$为中点的弦所在的直线方程。

②利用已知条件求弦的中点。

③求圆锥曲线中弦的垂直平分线。

（3）中点弦问题的常用解法

根与系数的关系法

将直线方程代入圆锥曲线的方程，消元后得到一个一元方程，若为一元二次方程，则利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解。它有一个固定的模式，即设交点坐标为$M(x_1,y_1)$，$N(x_2,y_2)$，联立直线方程和曲线方程，消元得出一个一元方程（必要时对二次项的系数加以讨论)，二次项系数不为0时，得出$x_1+x_2$，$x_1x_2$(或$y_1+y_2$，$y_1y_2$)及$\mathit{Δ}>0$，然后再根据题设条件求解。

点差法

若直线（存在斜率）与圆锥曲线$C$有两个交点$A$和$B$，一般地，首先设出交点坐标$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，代人曲线方程，通过作差，构造出$x_1+x_2$，$y_1+y_2$，$x_1-x_2$，$y_1-y_2$，从而建立了中点坐标和斜率的关系。

二、直线与圆锥曲线的位置关系的相关例题

已知椭圆$C$的焦点为$F_1(-1,0)$，$F_2(1,0)$，过$F_2$的直线与$C$交于$A$，$B$两点。若$|AF_2|=2|F_2B|$，$|AB|=|BF_1|$，则$C$的方程为___

A．$\frac{x^2}{2}+y^2=1$

B．$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1$

C．$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$

D．$\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}=1$

答案：B

解析：设$|F_2B|=t$，则$|AF_2|=2|F_2B|=2t$，$|BF_1|=|AB|=|AF_2|+|F_2B|=3t$，由点$B$在椭圆上，有$2a=|BF_1|+|F_2B|=4t$，解得$t=\frac{a}{2}$，则$|AF_2|=2t=a$，则$|AF_2|=2a-|AF_1|=a$，得$|AF_1|=a$，则在$△ABF_1$中，由余弦定理得$\cos A=\frac{|AF_1|^2+|AB|^2-|BF_1|^2}{2|AF_1|·|AB|}=\frac{a^2+\frac{9a^2}{4}-\frac{9a^2}{4}}{2×a×\frac{3a}{2}}=\frac{1}{3}$，在$△AF_1F_2$中，由余弦定理得$\cos A=\frac{|AF_1|^2+|AF_2|^2-|F_1F_2|^2}{2|AF_1|·|AF_2|}=\frac{a^2+a^2-4c^2}{2×a×a}=\frac{1}{3}$，解得$a^2=3c^2=3$，则$b^2=a^2-c^2=2$，所以椭圆的方程为$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1$，故选B。