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任何函数都有反函数吗

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并非任意一个函数都有反函数,只有定义域和值域满足“一一对应”的函数才有反函数,如函数 y=x^2(x∈R) 就没有反函数。只有单调函数才具有反函数。原函数与反函数定义域与值域交换。

是不是所有函数都有反函数

不是,存在反函数的充要条件是x与y一一对应。也就是说x取一个具体的数值时,有且仅有一个y值对应;y取一个具体的数值时,有且仅有一个x值对应。

事实上,我们接触更多的是连续函数,而不是离散函数或者分段的不连续的函数。连续函数存在反函数的充要条件是函数在定义域内严格单调。

定义反函数的前提是,原函数是双射(一对一)。同济版高数中,反函数的定义是“设 f:D→f(D) 为单射,......”因为是到 f(D) 那肯定是满射,所以也等同于要求是双射。

另外,关于反函数的双射要求

定义中要求的双射,就是一对一,左边右边都没有多余的没用上的点。因为这样的定义,最简洁,也足够应付各种反函数的应用场景。

其实,扩展到一对一,左边或右边有多余的没用上的点,虽然也没有矛盾之处,但既然它们是多余的没有用上的,从数学追求简洁的角度,干脆不带着它们就好了。这在函数定义时,也是一样的道理。对每一个x属于D,就是把D中元都用上,不用的多余的点也没有必要带着它们。

定义域和值域发生互换:原函数的值域是反函数的定义域,原函数的定义域是反函数的值域。

求反函数的一般步骤

(1) 检验函数是否为双射,或者做水平线检验,确定反函数存在性;表示原函数的定义域,注意,可能需要限制在部分单调区间。

(2) 根据 y=f(x) 反解出 x , 注意从求解过程的一些限制(如分母不为 0 , 根号下大于等于 0 等)得到反函数的定义域。

(3) 换表示,即交换 x 和 y ,得到最终的反函数。

注:反函数一般是在原函数的单调区间才存在的,也可以借助函数图形、函数单调性、定义域与值域是互换关系,来得到反函数的定义域加以验证。