零点的定义与判定定理

一、零点的定义与判定定理

1、函数零点的定义：对于函数 $y=f(x)$，我们把使$f(x)=0$的实数$x$叫做函数$y=f(x)$的零点。

2、函数零点的意义：函数$y=f(x)$的零点就是方程$f(x)=0$的实数根，也就是函数$y=f(x)$的图象与$x$ 轴交点的横坐标。

3、函数零点的分类

(1) 变号零点：零点附近两侧的函数值异号
(2) 不变号零点：零点附近两侧的函数值同号

4、函数零点存在性定理：一般地，如果函数$y=f(x)$在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有$f(a) \cdot f(b)<0$，那么，函数$y=f(x)$在区间(a,b)内有零点，即存在$c \in (a,b)$，使得$f(c)=0$，这个$c$也就是方程$f(x)=0$的根。

5、判断函数零点个数的常用方法

(1) 解方程$f(x)=0$，方程$f(x)=0$的不同解的个数就是函数$f(x)$零点的个数。
(2) 直接作出函数$f(x)$的图象，其图象与$x$轴交点的个数就是函数$f(x)$的零点的个数。
(3) 化函数的零点个数问题为方程$g(x)=h(x)$的解的个数问题，在同一坐标系下作出$y=g(x)$和$y=h(x)$的图象，两函数图象的交点个数就是函数$f(X)$的零点的个数。
(4) 若证明一个函数的零点唯一，也可先由零点存在性定理判断出函数有零点，再证明该函数在定义域内单调。

二、零点的定义相关例题

判断函数$f(x)=x-3+ln ~x$的零点个数___

答案：只有一个零点

解析：令$x-3+ln~x=0$，则$ln~x$与$y=-x+3$的图像只有一个交点，即函数$f(x)=x-3+ln~x$只有一个零点。