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周期函数怎么判断

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三角函数的周期根据公式:弦函数的2π/w,切函数的π/w(w为正);一般的函数根据定义来判断,除了三角函数外,没有给出解析式的函数是周期的函数。推知周期,常见的周期情况有f(x+T)=f(x),周期为T,f(x+a)=-f(x),周期为2a。

周期函数的判定方法

1、根据定义讨论函数的周期性可知非零实数T在关系式f(X+T)= f(X)中是与X无关的,故讨论时可通过解关于T的方程f(X+T)- f(X)=0,若能解出与X无关的非零常数T便可断定函数f(X)是周期函数,若这样的T不存在则f(X)为非周期函数。

例:f(X)=cosx 是非周期函数。

2、一般用反证法证明。(若f(X)是周期函数,推出矛盾,从而得出f(X)是非周期函数)。

例:证f(X)=ax+b(a≠0)是非周期函数。

证:假设f(X)=ax+b是周期函数,则存在T(≠0),使true ,a(x+T)+b=ax+b ax+aT-ax=0 aT=0 又a≠0,∴T=0与T≠0矛盾,∴f(X)是非周期函数。

例:证f(X)= 是非周期函数。

证:假设f(X)是周期函数,则必存在T(≠0)对 ,有(x+T)= f(X),当x=0时,f(X)=0,但x+T≠0,∴f(x+T)=1,∴f(x+T) ≠f(X)与f(x+T)= f(X)矛盾,∴f(X)是非周期函数。

例:证f(X)=sinx2是非周期函数

证:若f(X)= sinx2是周期函数,则存在T(>0),使之true,有sin(x+T)2=sinx2,取x=0有sinT2=sin0=0,∴T2=Kπ(K∈Z),又取X= T有sin(T+T)2=sin(T)2=sin2kπ=0,∴(+1)2

T2=Lπ(L∈Z+),∴与3+2 是无理数矛盾,∴f(X)=sinx2是非周期函数。