高中数学重要知识点排列组合公式

　　高中数学重要知识点：排列组合公式

　　排列组合公式/排列组合计算公式

　　排列P------和顺序有关

　　组合C-------不牵涉到顺序的问题

　　排列分顺序，组合不分

　　例如把5本不同的书分给3个人，有几种分法。“排列”

　　把5本书分给3个人，有几种分法“组合”

　　1.排列及计算公式

　　从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号p(n，m)表示。

　　p(n，m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)=n！/(n-m)！(规定0！=1).

　　2.组合及计算公式

　　从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号

　　c(n，m)表示。

　　c(n，m)=p(n，m)/m！=n！/((n-m)！*m！)；c(n，m)=c(n，n-m)；

　　3.其他排列与组合公式

　　从n个元素中取出r个元素的循环排列数=p(n，r)/r=n！/r(n-r).

　　n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1，n2，……nk这n个元素的全排列数为

　　n！/(n1！*n2！*……*nk！).

　　k类元素，每类的个数无限，从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1，m).

　　排列(Pnm(n为下标，m为上标))

　　Pnm=n×(n-1)……(n-m+1)；Pnm=n！/(n-m)！(注：！是阶乘符号)；Pnn(两个n分别为上标和下标)=n！；0！=1；Pn1(n为下标1为上标)=n

　　组合(Cnm(n为下标，m为上标))

　　Cnm=Pnm/Pmm；Cnm=n！/m！(n-m)！；Cnn(两个n分别为上标和下标)=1；Cn1(n为下标1为上标)=n；Cnm=Cnn-m

　　2008-07-0813：30

　　公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。N-元素的总个数R参与选择的元素个数！-阶乘，如9！=9*8*7*6*5*4*3*2*1

　　从N倒数r个，表达式应该为n*(n-1)*(n-2).(n-r+1)；

　　因为从n到(n-r+1)个数为n-(n-r+1)=r

　　举例：

　　Q1：有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位数？

　　A1：123和213是两个不同的排列数。即对排列顺序有要求的，既属于“排列P”计算范畴。

　　上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现988，997之类的组合，我们可以这么看，百位数有9种可能，十位数则应该有9-1种可能，个位数则应该只有9-1-1种可能，最终共有9*8*7个三位数。计算公式=P(3，9)=9*8*7，(从9倒数3个的乘积)

　　Q2：有从1到9共计9个号码球，请问，如果三个一组，代表“三国联盟”，可以组合成多少个“三国联盟”？

　　A2：213组合和312组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一起即可。即不要求顺序的，属于“组合C”计算范畴。

　　上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数C(3，9)=9*8*7/3*2*1

　　排列、组合的概念和公式典型例题分析

　　例1设有3名学生和4个课外小组。(1)每名学生都只参加一个课外小组；(2)每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加。各有多少种不同方法？

　　解(1)由于每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个，而不限制每个课外小组的人数，因此共有种不同方法。

　　(2)由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加，因此共有种不同方法。

　　点评由于要让3名学生逐个选择课外小组，故两问都用乘法原理进行计算。

　　例2排成一行，其中不排第一，不排第二，不排第三，不排第四的不同排法共有多少种？

　　解依题意，符合要求的排法可分为第一个排、、中的某一个，共3类，每一类中不同排法可采用画“树图”的方式逐一排出：

　　∴符合题意的不同排法共有9种。

　　点评按照分“类”的思路，本题应用了加法原理。为把握不同排法的规律，“树图”是一种具有直观形象的有效做法，也是解决计数问题的一种数学模型。

　　例3判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果。

　　(1)高三年级学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了一次手，共握了多少次手？

　　(2)高二年级数学课外小组共10人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？

　　(3)有2，3，5，7，11，13，17，19八个质数：①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商？②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？

　　(4)有8盆花：①从中选出2盆分别给甲乙两人每人一盆，有多少种不同的选法？②从中选出2盆放在教室有多少种不同的选法？

　　分析(1)①由于每人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信，所以与顺序有关是排列；②由于每两人互握一次手，甲与乙握手，乙与甲握手是同一次握手，与顺序无关，所以是组合问题。其他类似分析。

　　(1)①是排列问题，共用了封信；②是组合问题，共需握手(次).

　　(2)①是排列问题，共有(种)不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法。

　　(3)①是排列问题，共有种不同的商；②是组合问题，共有种不同的积。

　　(4)①是排列问题，共有种不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法。

　　例4证明。

　　证明左式

　　右式。

　　∴等式成立。

　　点评这是一个排列数等式的证明问题，选用阶乘之商的形式，并利用阶乘的性质，可使变形过程得以简化。

　　例5化简。

　　解法一原式

　　解法二原式

　　点评解法一选用了组合数公式的阶乘形式，并利用阶乘的性质；解法二选用了组合数的两个性质，都使变形过程得以简化。

　　例6解方程：(1)；(2).

　　解(1)原方程

　　解得。

　　(2)原方程可变为

　　∵，

　　∴原方程可化为。

　　即，解得