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实数集包括什么

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加法定理

1.1.对于任意属于集合R的元素a、b,可以定义它们的加法a+b,且a+b属于R;

1.2.加法有恒元0,且a+0=0+a=a(从而存在相反数);

1.3.加法有交换律,a+b=b+a;

1.4.加法有结合律,(a+b)+c=a+(b+c)。

乘法定理

2.1对于任意属于集合R的元素a、b,可以定义它们的乘法a·b,且a·b属于R;

2.2乘法有恒元1,且a·1=1·a=a(从而除0外存在倒数);

2.3乘法有交换律,a·b=b·a;

2.4乘法有结合律,(a·b)·c=a·(b·c);

2.5乘法对加法有分配率,即a·(b+c)=(b+c)·a=a·b+a·c。

实数

基本运算

实数可实现的基本运算有加、减、乘、除、乘方等,对非负数(即正数和0)还可以进行开方运算。实数加、减、乘、除(除数不为零)、平方后结果还是实数。任何实数都可以开奇次方,结果仍是实数,只有非负实数,才能开偶次方其结果还是实数。

性质

封闭性

实数集R对加、减、乘、除(除数不为零)四则运算具有封闭性,即任意两个实数的和、差、积、商(除数不为零)仍然是实数。

性质

有序性

实数集是有序的,即任意两个实数a、b必定满足下列三个关系之一:a<b,a=b,a>b。

传递性

实数大小具有传递性,即若a>b,b>c,则有a>c。

阿基米德性

实数具有阿基米德(Archimedes)性,即对任何a,b∈R,若b>a>0,则存在正整数n,使得na>b。

稠密性

实数集R具有稠密性,即两个不相等的实数之间必有另一个实数,既有有理数,也有无理数。

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