等比数列怎么求和

公式

等比数列求和公式为：Sn=n*a1(q=1)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-anq)/(1-q)（q不等于1）

特殊性质

①若m、n、p、q∈N，且m+n=p+q，则am×an=ap×aq；

②在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列；

③若m、n、q∈N，且m+n=2q，则am×an=(aq)^2；

④若G是a、b的等比中项，则G^2=ab（G≠0）；

⑤在等比数列中，首项a1与公比q都不为零.

注意：上述公式中an表示等比数列的第n项。

等比数列求和公式推导

由等比数列定义

a2=a1*q

a3=a2*q

a(n-1)=a(n-2)*q

an=a(n-1)*q 共n-1个等式两边分别相加得

a2+a3+...+an=[a1+a2+...+a(n-1)]*q

即Sn-a1=(Sn-an)*q,即（1-q）Sn=a1-an*q

当q≠1时,Sn=(a1-an*q)/（1-q）(n≥2)

当n=1时也成立.

当q=1时Sn=n*a1

所以Sn=n*a1（q=1）；(a1-an*q)/（1-q）(q≠1)。

错位相减法

Sn=a1+a2+a3+...+an

Sn*q=a1*q+a2*q+...+a(n-1)*q+an*q=a2+a3+...+an+an*q

以上两式相减得（1-q）*Sn=a1-an*q

数学归纳法

证明：（1）当n=1时，左边=a1，右边=a1·q0=a1，等式成立；

（2）假设当n=k（k≥1，k∈N*）时，等式成立，即ak=a1qk-1；

当n=k+1时，ak+1=ak·q=a1qk=a1·q（k+1）-1；

这就是说，当n=k+1时，等式也成立；

由（1）（2）可以判断，等式对一切n∈N*都成立。