椭圆的面积及定义

面积推导导数方法

设椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1

取第一象限内面积有y^2=b^2-b^2/a^2*x^2

即y=√（b^2-b^2/a^2*x^2)

=b/a*√(a^2-x^2)

由于该式反导数为所求面积，观察到原式为圆方程公式*a/b，根据(af(x))'=a*f'(x),且x=a时圆面积为a^2π/4

可得当x=a时，1/4S=b/a*1/4*a^2*π=abπ/4

即S=abπ。

此方法比较容易理解。

椭圆定义

第一定义

平面内与两定点F₁、F₂的距离的和等于常数2a（2a>▏F₁F₂▕）的动点P的轨迹叫做椭圆。

即：▏F₁▕+▏F₂▕=2a

其中两定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点的距离▏F₁F₂▕=2c<2a叫做椭圆的焦距。P为椭圆的动点。

椭圆截与两焦点连线重合的直线所得的弦为长轴，长为2a。

椭圆截垂直平分两焦点连线的直线所得弦为短轴，长为2b。

第二定义

椭圆平面内到定点F(c，0)的距离和到定直线l：x=a²/c（F不在l上）的距离之比为常数c/a（即离心率e，0<e<1）的点的轨迹是椭圆。

其中定点F为椭圆的焦点，定直线L称为椭圆的准线（该定直线的方程是

（焦点在x轴上），或

（焦点在y轴上））。

其他定义

根据椭圆的一条重要性质：椭圆上的点与椭圆长轴（事实上只要是直径都可以）两端点连线的斜率之积是定值，定值为e²-1（前提是长轴平行于x轴。若长轴平行于y轴，比如焦点在y轴上的椭圆，可以得到斜率之积为-a²/b²=1/（e²-1）），可以得出：

在坐标轴内，动点（x,y）到两定点（a,0）（-a,0）的斜率乘积等于常数m（-1<m<0）。

注意：考虑到斜率不存在时不满足乘积为常数，所以x=±a无法取到，即该定义仅为去掉四个点的椭圆。

椭圆也可看做圆按一定方向作压缩或拉伸一定比例所得图形。