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复合函数的奇偶性

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复合函数的奇偶性特点

F(G(X)),若G(X)为偶函数,当任意取关于X对称的两点X1,-X1时,有G(X1)=G(-X1),所以F(G(X1))=F(G(-X1))。因此内偶则偶。

F(G(X)),若G(X)为奇函数,当任意取关于X对称的两点X1,X2时,有-G(X1)=G(-X1),所以当F为偶时,F(G(X1))=F(-G(X1))=F(G(-X1))则整体为偶。当F为奇时,F(G(X1))=-F(-G(X1))=-F(G(-X1))则整体为奇。

判断复合函数奇偶性方法

F(x)=f[g(x)]——复合函数,则F(-x)=f[g(-x)],

如果g(x)是奇函数,即g(-x)=-g(x)==>F(-x)=f[-g(x)],

则当f(x)是奇函数时,F(-x)=-f[g(x)]=-F(x),F(x)是奇函数;

当f(x)是偶函数时,F(-x)=f[g(x)]=F(x),F(x)是偶函数。

如果g(x)是偶函数,即g(-x)=g(x)==>F(-x)=f[g(x)]=F(x),F(x)是偶函数。

所以由两个函数复合而成的复合函数,当里层的函数是偶函数时,复合函数的偶函数,不论外层是怎样的函数;当里层的函数是奇函数、外层的函数也是奇函数时,复合函数是奇函数,当里层的函数是奇函数、外层的函数是偶函数时,复合函数是偶函数。