幂指函数求极限

方法

方法一：取对数法

这是“幂指型”函数极限求解最普遍、最一般的方法，利用的是幂指型通过取对数可以转化为复合函数的特点。由于lnf(x)g(x)=g(x)lnf(x)，f(x)g(x)=eg(x)lnf(x)。由于指数函数的连续性，求解幂指型f(x)g(x)的极限的问题就归结为求g(x)lnf(x)的极限问题。

方法二：等价代换法

利用等价无穷小（或无穷大）作代换是很重要并且有技巧性的一种求极限的方法。由于lnf(x)g(x)=g(x)lnf(x)，如果f(x)∼ϕ(x),g(x)∼ψ(x)，自然有g(x)lnf(x)∼ψ(x)lnϕ(x)，于是f(x)g(x)∼ϕ(x)ψ(x)。由此我们可以得到：如果f(x)>0,ϕ(x)>0,f(x)∼ϕ(x),g(x)∼ψ(x)，而limf(x)g(x)存在，那么limϕ(x)ψ(x)=limf(x)g(x)。

方法三：配凑法

一般来说，配凑法往往利用重要极限limx→0(1+x)1x=e，所以一般用于求解“1∞”型极限。若α(x)>0，α(x)是无穷小量，那么

如果α(x)β(x)的极限存在，那么就达到配凑法求解极限的目的了，因此我们可以考虑先求α(x)β(x)的极限。

上述三种方法为幂指型函数求极限的主要方法，最常规的方法是取对数法，后面两种方法有一定技巧性，不过也可以归结为取对数的方法。掌握好它们，我们在遇到这类问题的时候就不再会感到非常吃力了。

幂指函数

将形如y=[f(x)]^g(x)的函数称为幂指函数。也就是说，它既像幂函数，又像指数函数，二者的特点兼而有之。作为幂函数，其幂指数确定不变，而幂底数为自变量；相反地，指数函数却是底数确定不变，而指数为自变量。幂指函数就是幂底数和幂指数同时都为自变量的函数。这种函数的推广，就是广义幂指函数。