微分的通俗理解

简介

在数学中，微分是对函数的局部变化率的一种线性描述。微分可以近似地描述当函数自变量的取值作足够小的改变时，函数的值是怎样改变的。

微分与积分

笼统的说,微分和积分是对函数的一种变换——从已知函数经过某种过程变成一个新的函数,是一种“定义域”和“值域”都是函数集合的映射(对应)。

如果不考虑相差一个常数的话，微分和积分互为逆变换：对一个函数先求微分，再求积分，等于其本身；对一个函数先求积分，再求微分，等于其本身。除法是乘法的逆运算，积分是微分的逆运算。就像在整数的范围内乘法一定可行而除法不一定可行(比如5除以3，结果超出了整数范围。)一样，在初等函数的范围内，微分一定可行，但是积分却不一定可行(比如对初等函数e^(-x^2)求积分，结果超出了初等函数的范围)。

说明一下，初等函数，就是常数函数(e.g.y=3)、指数函数(e.g.y=e^x)、对数函数(e.g.y=lnx)、各种三角反三角函数、幂函数(e.g.y=x^2) 经过有限次加、减、乘、除、复合后所得到的函数。微分学的应用包括：求一曲线在给定点的切线，求一曲面在给定点的切面，已知路程函数求速度和加速度等；积分学的应用包括：求曲线长度，求曲面面积(包括某些平面图形比如说圆的面积)，求立体体积，已知加速度函数求速度和路程等。